Kurt Schütte

1 . Es sei a ^ ßj.

Dann ist entweder nach Lemma 42 foc=oc<ß = fß (wenn /3 < ûj ist) oder fa== oc< ü* = fß (wenn ß = Q^ ist) oder nach Lemma 43 / a = D* < fß (wenn a = üi) ist).

2 . Es sei ßi < a = (aj, oc^) < ß = (ßi, ßz)- 2.L a < jS gelte nach (6.4).

Dann ist oci < ß^ und ag < ß, folglich auch ö^'^^oc^ < ß. Nach setzung folgt foci< fßi und fiô'^'^^oc^) < /^. Da nach Lemma 41 Sifß^) = 0 ist, gilt

Ko ( fßг ) < { fßvf ( ô'^^ß , ) ) = fß.

Für jedes | ^-^(1) ist nach Lemma 41 K^f^ die Komponentenmenge von /|. Es folgt fßi<fß, also auch foci<fß und KQ(foc^)<fß. Nach (6.4) folgt /a ^(/ai,/(â^«^a2))<//S.

2 . 2 . a < ^ gelte nach (6.5).

Dann ist aj = /Sj und ag < /Sg. Es folgt ö'^'^^ag < o^^'ß^ und nach voraussetzung f(ô^^'(x<^) < f(d^^'ß2)- Hiermit erhält man foc < fß nach (6.5).

2 . 3 . oc< ß gelte nach (6.6).

Dann ist j?! < ai und a ^ K^ß-^y {ß<^. Wegen /Sag = 1 ist iTjai < (a^, ag) = a und, da K^oc^ die Komponentenmenge von a^ ist, auch aj < a, also Д < a. Daher erfordert die Bedingung a ^ ^lÄ ^ {/Sg}, daß oc ^ ß^ ist. Aus /Sag = 1 folgt (1, ßi) ^ a, also (1, ßi) ^ /Sg. Dann ist oß2= ßz und a ^ ^'^^^/Sg. Nach tionsvoraussetzung folgt /a ^ fi^^^'ßz)- Hiermit ergibt sich foc < fß.

3 . ОС oder ^ sei kein Hauptterm.

Für alle Komponenten a^, ßj^ von a, /S mit oc^ ^ /3^. gilt dann nach voraussetzung foc^^ f ßjc- Hieraus folgt foc<fß.

Satz 8. Der Ordnungstyp des Systems i7(l) wird in jedem System 2J(N) mit N ^ 2 durch den Term (ûj, jQ*) dargestellt.

Beweis . Nach den Lemmata 44—46 ist / eine ordnungstreue Abbildung von i7(l) auf den Abschnitt der Zahlen <(ßi, ßf) des Systems Z(2). Es ist (ßj, ß*) <

< ß[3, 0]. Daher stellt der Term (ßj, ßf) in jedem System Z(N) mit iV^ ^ 2 dieselbe Ordinalzahl dar.

Anmerkung , (ß^, ßf ) ist die nächste auf ß* folgende stark kritische (d. h. ß^- kritische) Zahl, denn es ist

( pQ^Qf = ßf

( pßi ( ß * #l ) = (ßi,ß*),

ß * = ((ßg, ßj), 1) ist die erste (ßg, ßi)-kritische Zahl. Es ist (ßj, ßf)<

< ((ßg, ßj), 1 # 1). Die zweite (ßg, ßi)-kritische Zahl wird also nicht £(1) erfaßt, wohl aber in Z(2). Bereits der invariante Abschnitt von U(2) enthält mit oc auch die a-te (ßg, ßi)-kritische Zahl, denn es gilt

a < ß [3, 0] -> ((ßg, ßi), a) < ß [3, 0] .