14 H.-D. Ebbinghaus und M. Ziegler

Setzt man Я gleich der Klasse der monotonen Systeme, die durch eine Partition der jeweiUgen Grundmenge erzeugt werden, läßt sich zeigen, daß in L(ß^) sogar das Analogon des Bethschen Satzes für die durch Я bestimmte Semantik nicht mehr gilt.

( bl ) Mit einstelligen f,g setze man

Si : = { { { AJ^g^ ) ; ii ) \li Filter über A,

i { AJ^g^ ) ; fi ) ^ J stetig" v „^ stetig"}.

( Es ist „/ stetig" v „g stetig" äquivalent zu УХУХ'ЗГЗГУ>;Уу(-1Уу v "пГ/ у Xfy у X'gy').) Für einstellige Relationssymbole R, T gilt dann

( * * ) \=^{Q^xRxA-nQ^xRfx)-^{Q^xTx-^Q^xTgx).

Die folgenden Überlegungen zeigen, daß es für (**) keinen Interpolanten in L{Q'\i^l) gibt. Es seien für7 = 1,2

( 9^ , M^ ) = ( ( Л , / ^^^^ ) ; / z^ )

Filterstrukturen mit

( 3Ii ; / x^ ) t= „ / stetig " л „^stetig",

( 9l2 ; / ^^ ) l=~>» / stetig " л „öf stetig",

m , ; fi^ ) = j^^Q.^{^;fi^) für alle i^l.

( Man setze z.B. А:=Ж, g^^: =id^ und //^: = rechter Endenfilter über Z; f^^ vertausche für fee Ж jeweils 2fe mit 2fc+1, und /^^ vertausche für fee Z jeweils Ak mit 4fe+l und für песо jeweils 4n + 2 mit —4n—1 und 4n4-3 mit -4n —2.) Für 7 = 1,2 seien (95^;//^) entsprechende Filterstrukturen mit zu А disjunktem Träger В und vertauschten Rollen von / und g\ (£j;/i) sei die natürliche Vereinigung von (SI^;/!"*) und (®з_р/х^). Dann gilt:

{ ^i\ß ) = L{Qi){^2 '•> /^) für z ^ 1, (Ci ;//)f=,,/ stetig" л -i „g stetig", («2;/i)h ^»/ stetig" л „^ stetig". D

( b2 ) Mit zweistelligem h setze man

Я : = {{{А, /î^) ; /x) I // Filter über A und ((Л, й^) ; /1)1= Зх „Я>^й(х, у) stetig"}.