46

Ю . Л . Ершов

G^ioc^^ ,аг^)=0, б=/, ,тгъ,<7('а:^-<^^^^Я^(^) ,

^ = /;

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть <: А", tr,/"^ Л ^) удовлетворяют уело- ВИЯМ теоремы; пусть J"^/^"^*

В дальнейшем будем использовать сокрашения(Ьс)-^гГ/,.- ^ос^Ци) -Си^, у</п)- Заметим, что из тг > ^ ' следует сХ^(осу —^ (TZ^C^} . Пусть ^^Г^

т =^[f'\^'^r^^(cc)e/?-iri^<rCG^ccc):»^'8^at^c^:»],

Заметим , что если ^с/^, Уг^^тпТ-^'^У^г * '^^//^'^» кроме того, если 7f^ 7-7р ^ , то Т' 5 Ту . Покажем, что существует ^е Р , такой, что \/-7г'еТ (Т'^Т^) • Последнее условие будем обозначать ^ > Т' Предположим противное, тогда '^^ ^ . Пусть 7^^ - теория модели ^F Г)>• с константами в сигнатуре, соответствующими элементам

^ и 7^ , так что любая модель теории Т, есть элементарное ширение ^Р^ -er, Г > . Положим

где ( д : ? = ( ' - Гу - , у^п^ •" константы, не встречающиеся в Т . Система аксиом Т^ и 1^2 совместна, так как любая конечная подсистема из 7^ , которая эквивалентна одной формуле

m

для некоторого у^^Р^ , выполняется в <F,0',P>, так как по предпо - ложению Т такой, что

ложению Р —Р , а это означает, что в /7^ существует набор (-^^

Итак , по локальной теореме система р^ U Т^ совместна и, следова - тельно, имеет модель < Р^ ^<Т^^ ^^>^<Р,<х, Р'^, в /7^^ имеется па-- ^ор ($)= (^^^ ,5"^) , такой, что СХ^с^^ и

V^e Г ( S. VyCGrCic))> ^) , < Ff,<r^y Pi > - элементарное

расширение< / ^ , ч7^ 7^> . В частности,<>27^t/^y^>- гензелево, Р сервант-