28

Г . Ф . Бачурин

мальной подгруппой без кручения

тогда и только тогда, когда её

центр содержит в себе элемент

конечного порядка.

СЛЕДСТВИЕ . Если максимальная

одическая подгруппа/^ смешанной j&^-

группы^ конечна, то 6^ обладает мальной подгруппой без кручения.

Для доказательства рассмотрим верхний центральный ряд

у = г^с ... с ^^^^ с я„ с= ... с г ^ = Ö-

группы Q . Известно ( [l5l , теорема 1), что верхняя грань поряд - ков элементов какого-либо фактора этого ряда не может быть меньше верхней грани порядков элементов непосредственно следующего за ним фактора, поэтому центр % группы С- не может быть периодической группой.

Заметим , что это следствие не может быть перенесено на группы с бесконечной периодической подгруппой: уже смешанная нильпотентная группа класса 2, периодическая часть которой бесконечна, может не ладать нормальной подгруппой без кручения (см., например, Сб1 ; стр. 480).

Под максимальной нормальной подгруппой без кручения какой- бо группы О будем понимать такую её нормальную подгруппу, рая как истинная подгруппа не содержится ни в какой нормальной группе без кручения.

ЛЕММА 2. Если^- смешанная

тентная группа^ максимальная

одическая подгруппа Р которой

ет порядок/? (^- простое число), и/У- какая- либо её максимальная нормальная подгруппа без кручения, то все факторы верхнего центрального ряда фактор-группы G/H - ные абелевы п -группы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО , р как нормальная подгруппа простого рядка по уже упомянутой выше лемме С.Н.Черникова полностью содер-