о 't иной но упорядоченных разрешимых группах

663

ного ранга и без кручения

дочиваема тогда и только тогда,

когда G действует положительно на

своей максимальной нильпотентной

нормальной подгруппе Лг

Действительно , пусть G - упорядоченная разрешимая группа нечного ранга, л/ - ее максимальная нильпотентная нормальная группа. Будем доказывать, что О положительно действует на Л/ ин - дукцией по рангу G . Поскольку О имеет конечный ранг, то в ней найдется минимальная относительно выпуклая подгруппа ^ . Рассмот - рим то упорядочение О , при котором /У выпуклая. Очевидно, что // архимедова при этом порядке и нормальна в <2? и, кроме того, она жит в центре Л^ . Можно считать, что О действует на пополнении /^ группы // , являющемся векторным пространством над полем ных чисел. Нам нужно доказать, что это действие неприводимо на ^ и в расширении // до векторного пространства над полем ких чисел найдется собственный относительно О вектор, на котором G индуцирует положительные собственные числа.

Поскольку //* архимедова, то // - подгруппа аддитивной группы вещественных чисел и внутренние автоморфизмы G индуцируют на ^ умножение на положительные числа. Пусть элементы с2*^^ -.,-2Г^, дающие G/Л/ ^ индуцируют умножение // на положительные числа ^у,

Выберем какой-нибудь элемэнт <^ в // и отождествим его с ницей поля вещественных чисел. Тогда, ввиду минимальности но выпуклой подгруппы // в ^ , получаем, что группа // изоморфна аддитивной группе поля Q (oé^,. . . у <^^ J % откуда нетрудно вывести, что // неприводимо относительно G .

Покажем теперь, что в расширении гг пространства ^ , ного расширением поля Q до ^^оС/, ■ j^n^* имеется вектор, венный относительно каждого из преобразований У^- с собственными значениями о^£ .

Пусть <^ - примитивный элемент поля ^ С^г^ - ' *ß^Tz< ку числа оС^,.. .,оС/1 положительные вещественные, ^л вещественно и найдутся также полиномы /*^' над ^ такие, чтооС^.=Х(й(ЬОтсюда можно заключить, что найдется такое линейное преобразование ^ пространст-