Апериодические последовательности и функции роста алгебр

151

Далее , слово iL имеет вид Ц^ XU , . , UЛ , хотя возможен чай Cl- MX.

^ ) Li— ХиХ, В этом подслучае т^2 , так как слово U ^^

== {Xl^X)lXäX){XyX) содержит подслово [ХХ^) = У^ (см. случай Ш). Далее, ^= ХиХ . . . U^.

5 ) iL— XU XU X 0 В этом важном подслучае /71^4 • Действительно, слово И^^i^ljfil^^^^^i^'^^)^^,^^^^^,^^^ ^^i^^^ содержит подслово [хиХХу ) = (а^ Ху , следующее за первым вхождением символа

и . Но последовател1>ность Jj. (Д; ч if ) свободна от вхождения блока (Х;;/. ) (см. случай Ш, подслучай 1). Заметим, что X/ ~ ==-ХиХХи [хиХШХ) UXXÜ, Поэтому последовательность L содержит сколь угодно длинные слова вида (Х- Хт Х^ У, Х^ ) А ^ > , где X

fi it fi П, iL ' Ц."" 1 tl"i

является нача^юм для слова Х^ . Далее, UL- XUX'... 3UJX..

6 ) ÜL^OUjXXUX = [хиХ)^'. В этом подслучае/:п-=/ (см. случай 1У, подслучай 4). Далее, слово Li имеет длину ^ ? .

Если

7 ) il^XljXX . . . ХиХ или U=^JCaX . . . ХХуХ ^ то /77«/ , так как уже слово LL содержит блок [XOC^Uj "=■ У- . Действительно, либо а^-= [хихх.., Хих)i^i^X... Xl^C^)> либо гг^- (хух.. \^^,f)i^^f' - -

. . . xxi^x).

Далее везде ll^XUX^. . . ^^Ц(^'

о ) 11== XUOCAJхих, в этом подслучае /77=/ , так как слово

^^ " ^ ^*^K:£ifL'^^£Z(^'^'^*^^ содержит nomnoBo(X^fxXUlXüf^K^ У,Х^, следующее за первым вхождением символа U . Но последове»тельность Л^(Ху,У) свободна от вхождения такого слова, поскольку последователь - ность lj^[X^^l2^ свободна от вхождения слова Х^Х ХХ VI,

Далее , ^= XUXUX..*UXUX имеет длину ^/^ , поскольку

чай и=^[хи) X невозможен (см. случай Ш, подслучай 1). Ясно, что во U — X'U^^,'' не может служить началом для последовательности /j , поскольку aJ=^CPUXXàI , Поэтому блоку LL предшествует некоторый символ.

9 ) Блоку и предшествует символ X • Этот подслучай невозможен,

Действительно , сдвиг блока U- на одну позицию влево переводит его в блок

/ in \'^ ., '^^

( и ] » основание которого cl имеет ту же длину /Z , что невозможно:

а " ' а" а" и" и'"

хи ^ х(х...х)(х.^.х)(х...х1..(йг,,.:г){х...х).