340 A. И. Ширшов, А. А. Никитин

а ) их их =^ иг их , и при этом либо UX'UX = UX UX

бо иг -= Сихи/')иХ" , либо 6^= (ихи^')их" , либо 0^= UX' Ыг\

05 = or or;

6 ) ixr^urur, LO: = CV'ur' , и при этом либо i/^" = UT"UX'

^6o их = (их их') их" ;

о 1 б s ^

в ) 6^^= гаг 66^')66г" , и при этом либо 6^= (иХ^иХ^Щ\ либо

г ) 66^ = их'их" иг = ОГ'О^' . и при этом либо^- ^ ^z^

либо и/ = Га^а!'"')иг'

7 3 ' '

Случаи "а" - ''в' следуют непосредственно из условий 2. 1-2. 3. В

случае "г" из равенства UX =• UX'UX' и условия 2. 2 следует ЫУ-ЫХ =

=• 66^*6^ , что противоречит предположению. 1 3

Пусть теперь 'Ш^ (UXUr"')u>'"'. Тогда из UX ^ ЦХ'цх"

I 3 1 i 111

III

И

следует , что либо UX^UX = б^Г и 6^ -=^ О^ , либо 6^^

6^ " '= а>^ . Из условий 2. 2, 2. 3 и из UX^-UX^ ф UT^' UX. получим, ,

что от" = их^их'" и ur'= 6^'*". Поэтому (:i^5^'^V(rar-6^)=6^.

В случае 'д" из условия 2. 3 получим, что Щ' OiK =^ UZUX\ (J^-UX^ = их их , Отсюда и из неравенства ^'^ ф Щ'^г ^^^^

дует , что иХ^иХ^' ф ОГиг'" . Поэтому UJr" « ^^'" и

ОГ' " ' — 66^0^' . Следовательно, (Ш/U/^"!' (U/'U^^) =

= (и!ГЦ^)-Сихих''') = fû^'^rSJuT^) = ur.

Рассмотрены все необходимые случаи. Таким образом, операция' • в ^-^^Гу)удовлетворяет условиям 1. 1-1. 4. Следовательно, частичная гебраическая система (À.7i( V i является проективной плоскостью.

Покажем теперь, Ч10 имеет место

ТЕОРЕМА 1. Пусть у - множество, щее не менее четырех элементов, Х- 'ßi V ) - частичная алгебраическая система,

ляющаяся результатом конструкции 1 для множества V . Тогда Ô^7^( v/ - вполне сво-