Неразрешимость регулярно ^замкнутых полей

391

зом . Полагаем I "^ \L I Q. ^ N } ; тогда ^| *=* У^ &. ^ (^,

Заметим , далее, что если G". П N ^ С , то /i. < N • Действительно,

G . П N - нормальная подгруппа в Q-. , следовательно, если (j-.C) Ыфс и L и

ТО G". П N = G". » так как [j. проста. Переходя к факторам по N , и ^ О о

будем иметь Hji^^'^ 2-j G*« . Чтобы установить равенство N~N t

О l^Xy^r и 'О

достаточно показать, что случай /v т ^ и N П &.*= в для всех б € Г невоз-

^N ,-^^ви 6бГ таково,

что i(i) -ф В ; так как ^. неабелева и проста, то существуетû^&-

такой , что ufCu), Ci 3 ^ ^ . Рассмотрим элемент f^'^ufuEPi;

{ hj ) = f(J^ ^ для всех /'f ^ . Тогда f'^^ G". П N и

f\i ) S^hiy= Li^Ci),Ql ф е. Противоречие.

Так как Q - прямая сумма групп, изоморфных о » то, по лемме 1,

I (о J - прямая степень группы о ; кроме того, ^К(О) - нормальная

подгруппа 'f^ ( Pj ^ ; следовательно, если Ц^ (и) нетривиальна, то О

должна быть композиционным фактором группы G , что невозможно. Итак,

^ индуцирует эпиморфизм Ц^ '> п —* (j .Из леммы 1 также следует,

О J

что ^ индуцирует изоморфизм £ G« и G для J ^=^ \ i \ i ^ П

По предложению 2 с каждым эпиморфизмом Y • F ^~*' G" однозначно связан определенный индекс I ^ 1Ъ так, что <^ может быть ''пропущен'' через эпиморфизм ^. , являющийся композицией U^ '. г ^^ А с ной проекцией Л ( ~ ^ G« / ^~* &» , Аналогично для любого эпимор -

физма ^ \ I-----^ (jr существуют однозначно определенные O^J^/t

такие , что ^ может быть "пропущен'' через композицию (^. . эпиморфизма U? и проекции л —^ G- ^ G- .

Пусть C^O'bG и AlC~~*G - естественная проек -

ция ; пусть I <• i ^ П и<^- произвольный изс^юрфизм (j. ^ Q. яа G" •

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Эпиморфизм 1/)^:р->С

кой ,

т о

д

и

а г

Р

а M

M а

F

—

%

—

^ С

Я

Ci^G

■ /

—

f

—

- (

J

коммутативна , существует тог д-'а и

только тогда, когда <^ IJ У ^ Р,

Пусть (ù^j У £ Р . Рассмотрим в F нормальную подгруппу