518

M . Г . Перетятькин

местности соответствующих символов. Через ди (б) обозначается множество всех предложений сигнатуры б . Если C&SL{6) , то через GFJ^ будем обозначать теорию сигнатуры б , денную данным семейством Е как множеством аксиом. При этом нижний индекс б можно опускать в тех случаях, когда он ясен из контекста. Сигнатуру ô будем называть богатой^ если она содержит хотя бы один Д-арный предикатный или функциональный символ для tV^ Z , или два унарных функциональных символа. Сигнатура Ö называется перечислимои^ если соответствующее множество ЬЬ (б) допускает гёделевскую нумерацию. Как это принято в Q9j , мы будем использовать краткий термин тизируемая теория вместо более полного и выразительного вания рекурсивно-аксиоматизируемая теория.

Пусть б - перечислимая сигнатура. Зафиксируем гёделевскую

нумерацию ЯР: , I ^п , для Ои{б) . Если выполняется

^ * УК''^'^ЧтгЙ 5 » ^^® ^nt ®^'^^ ^"® р.п. во в постовской нумерации, то число/TJ' будем называть р.«. индексом для / . Если выполняется ^'^ (^* I ^^ ^Л/^ j К<-/ > где О включает только те символы из Ö , которые ются в записи формул последовательности т, , I € V^ » то в этом случае число ГТЬ будем называть слабым р.п. сом теории /

В последующем мы будем неоднократно касаться теоремы о выразительности конечно-аксиоматизируемых теорий, доказанной ^ D > CÎ » поэтому будет целесообразным привести её полную формулировку.

ТЕОРЕМА .1.1. Пусть Т- произвольная аксиоматизируемая теория^ не имеющая конечных моделей, и пусть é - конечная богатая сигнатура, Тогда эффективно по р.п,индексу для Т могут быть построены конечно-аксиоматизируемая модельно ная теория г^г(Т') заданной сигнатуры 0 и рекурсивный изоморфизм и\ ^\Т) —>'£{г) между их алгебрами Линдвн^ баума такой, что любое пополнение / теории Т и вующее пополнение р теории F »р ш UiT ) , имеют одинаковые описания в пределах следующего списка теоретико- модельных свойств, таких как:

1 ) стабильность, суперстабильность, почти Си-стабиль-^ ность, Си-стабильность, f,C»pi

2 ) существование простой модели, ее сильная конструктиви- зируемость и автоустойчивость (относительно сильных конструк- тивизаций). Число атомных моделей мощности ^ > Си ;

3 ) число счетных минимальных моделей (моделей Йонссона), их сильная конструктивизируемость и автоустойчивость. Число минимальных моделей мощности оО >cà ;