46

В . H. Желябин

что хих^ = 0. Пусть 6 — элемент из А. Легко видеть, что [{Ja)x]b = 0. Следовательно, в силу (1) имеем 2{ха)^ = —х^а^ + {а^х)х + 2[(аж)ж]а = 0. Пусть теперь и — произвольный элемент из J. Тогда и = ао + ai, где ао G А и ai G M. Отсюда следует, что и^ = 4(aoai)^ + 4aiaoaJ + а^ = 0.

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть J = А + M — произвольная йорданова Z2'гpaдyupoвaннaя алгебра с тривиальной чётной частью. Тогда в гебре умноэюений R{J) выполняются равенства (2), (3) и (4).

Пусть теперь J = А -\- M — произвольная йрданова ^2-градуиро- ванная алгебра, алгебра умножений которой удовлетворяет равенствам (2), (3 и (4). Мы докажем две леммы, которые нам понадобятся для дальнейшего.

ЛЕММА 2. Пусть L = {А^У + {А^УМ'М'. Тогда для любых ментов а, Ь, с из А, X, у, V, и из M имеют место соотношения:

a ) {ахУс'{ЬуУ = -(6y)V(a«)' (modi);

b ) {ахУс\ЬуУ = (ay)V(bic)' (modi);

c ) 2{ахУ{иуУ{ЬуУ = v'b'{xyya'u' + и'Ь\хуУа%' {modL).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Пусть t^i и ti;2 — элементы из R{J). ложим, что W2 получается из wi путем перестановки каких-нибудь щих в него двух элементов из J. Тогда будем говорить, что wi чен (кососимметричен) по модулю L относительно этих элементов, если w = wi (modi) {w = -wi (modi)). Заметим, что в силу (2)

М'М' { А^У С {{А^М)МУ + {А^УМ'М' и {А^М)М С {{АМ)М)А С А^.

Поэтому М'М'{А^У С L.

Пусть X, у — произвольные элементы из М. Тогда в силу равенств (2), (3) и (4) получаем ж'а'у' = -у'а'х' (modi), (a«)V(6y)' = -(c«)V(by)' (modi) и {ахУс\ЬуУ = -(аж)'б'(су)' - (аж)У(сб)' = ^{ахуЬ\суУ (modi). Но тогда выражение (аж)'с'(Ьз/)' кососимметрично по модулю i тельно любых двух элементов из множества {а,Ь,с}. Так как

{ ахУс^ЬуУ = -(6y)V(ax)' = (ay)V(6x)' (modi),