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Isac , G.

Si l'espace E(x) est un espace de Fréchet alors la topologie т est définie par une famille sufisante dénombrable de semi-normes.

Les notions sur les espaces vectoriels loccalement convexe et sur les cônes convexes se trouvent dans [16], [9], [13].

Soit KCE un cône convexe; on dit que l'ensemble В est une base pour le cône К si:

èj ) В est un ensemble covexe

^2 ) (V (x) (3 X, unique) (3 b, unique) (x = X • fe) eA:\{0} zR^\{0} zB

On dit que l'ensemble convexe АСБ engendre le cône К si: K=U\A.

IzR^ Le cône convexe К s'appelle bien basé s'il est engendré par un ensembe convexe et borné A tel oue O^Ä.

Proposition 1 Le cône convexe fermé K(ZE est bien basé, si et seulement s'il existe une fonctionnelle linéaire et continue / tel que:

( * ) (Va)(3Y.>0)(Vx)(Ya|x|,^/W)

zA z zK

Démonstration Soit К bien basé, alors il existe A convexe, borné tel que:

O^i , K^^u-KA XzR^

Un théorème connu de séparation [16] implique qu'il existe une nnelle linéaire et continue / telle que:

Г ) y/azÄ){f(a)>l) Г)Я0)<1

L'ensemble : B = {xzK\f(x)^l} est une base pour le cône K, On a: BCM со ({0}U^) parce que: WbzB, ô = (1-X0 + Xoi où a^zA et Xe] 0, 1[ (si X^l, on obtient quo f(b) = If (a^)>l ce qui est absurd). Comme M est borné il résulte alors que В est aussi borné. Soit olzA; В étant borné il existe un nombre ß«>0 tel que: (Vze5)(|z |^<ßj. Si xzK\{0) et \х\^ФО il

existe Xjç>0 tel que —(-----]gB. Dans ce cas on a: —(-----) =—<ßa; d'où

il résulte: /(-----) = X->—.

Si on met: y- = — on obtient la relation (*).

ß«

La relation (*) est aussi vériffée même si | x |, = 0 parce que par tion/ est positive sur le cône K.