— 191 —

s Комбинациям (38) посвящен отчасти пар-ф 8-й. В нем рассмотрение бинации ( их ^ ) сведено к рассмотрению комбинации

d àVk\ _„.^r„../rf'F/ при чем откинута сумма

( sm - ^' - 'CS - ) , '

' ? ^ ( j , , , r , ) , + ^ï^'(D^F.),. (40)

Эта сумма, на основании доказанного о первых производных от Г^, влетворяет условию Гёльдера {аАб^,1) и сама абсолютно меньше числа (аЛб^).

Оценка (39) сводится к оценке двух чисел: пределов линейной функции не которых интегралов и производных второго порядка от потенциала простого слоя, плотность которого не зависит от F^; влияние Vk на члены этой категории зывается лишь в тОхМ, что они содержат множителями значения в некоторой точке плотностей потенциалов, встречающихся в (39).

Так как по доказанному плотность (36) удовлетворяет условию Гёльдера {аЬАб^^Х^) и абсолютно меньше аЪАб^, из сказанного в пар-фе 8-м прежде всего ясно, что указанные числа первой категории меньше числа вида а^Аб^ и, ленные для двух точек М^ и М^ на расстоянии d, отличаются друг от друга на

ЧИСЛО вида а^Аб^б ^ .

Числа второй категории также рассмотрены в пар-фе 8-м; про них влено, что они меньше числа вида а^Аб^^ так как теперь G равно аЬАб^, и влетворяют, вследствие предположений об {S), условию Гёльдера (аЬАб^, Я); число Я теперь меньшее из чисел Я^ и Я.

Сопоставляя доказанное, видим, что утверждение, высказанное в прошлом пар-фе о функциях (38), а вместе с этим и утверждение, высказанное о вторых производных от Vky справедливо.

20 . Пользуясь доказанным о V^, мы можем утверждать, что ряд из вторых производных от членов ряда

V= : - V , - V , , . . - Vk~ . . . (30)

сходится равномерно и абсолютно как внутри, так и вне (В), вследствие чего функция V имеет как внутри, так и вне (В) вторые производные.

Эти вторые производные удовлетворяют условию Гёльдера (дА, у) и солютно меньше числа д, где g больше суммы ряда:

Их мешено находить, дважды дифференцируя ряд (30).

Примечание . Если в условии (Ь) и в условии, ограниШвающем рые производные от F^, число Я равно единице, то число Я в окончательных выводах прошлых пар-фов следует заменить через Я^. В этое слутае чпсло у

Я2 равно —•