Ober Interpolation

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F . Riesz hat bewiesen [8], dass wenn f(z) im Kreise l-e^Kl regulär ist und der Klasse H angehört, so existiert für fast alle z = e^^ auf dem kreise der endliche Limeswert f(e^^) bei nichttangentialer Annäherung aus dem Innern; diese Limeswerte f(e^^) bilden eine messbare Funktion von 6 und \/(e'^)\P ist für 0:^6<2tt summierbar.

Wir setzen in diesem Paragraphen

2r^ = 4«) = ^'2H=î (Aj=1, 2, ..., 2/г + 1; n=\,2,...). (22)

Satz 4. Es sei f[z) für j^rKl regulär und von der Klasse Я, /?>1. Es sei Q^ [z) = Q^ (f; z) dasjenige — eindeutig bestimmte — Polynom in z vom Grade ^ n, welches den Bedingungen:

27Г

* 2^+1

Э1

[ Q . ( ^ . ) ] - ^ - ^^ j ^[/(e''ö)]^e (^=1, 2,..., 2/г+1),

( A - l ) . '^

( 23 )

2л + 1

nQnm=nfm

genügt . Dann ist

2k

lim ^\f{e^^)—Q^[e'^)\Pd^^ = 0. (24)

0

Beweis . Dieser Satz ist eine direkte Folge von Satz L Satz 5. Es sei f(z) für \z\<^l regulär und

27Î

\^\f { re'^ ) I log+ \f(re^^) I db < const für 0 < г < L (25)

b

Wenn dann das Polynom Q^(z) wie im Satz 4 bestimmt ist, so ist

27Г

lim Г \f{e'^) — Q^ (e^'^) | öfO = 0. (26)

« - »■00 J

0

Beweis . Aus der Ungleichung

a^alog'^ a-{-e (a^O) folgt, dass

2ir

\ \f{re^^) I db < const für 0 < г < 1. (27)

Aus (25), (27), dem eben angeführten Satz von F. Riesz und dem bekannten Lemma von Fatou folgt, dass f[e'^) und \f{e^^)\\og'^\f[e^'^)\ für 0^0^2тг summieibar sind.

Also sind auch die Funktionen

9i { f(e^^)} und 15Î { f(e^^)} | log^^ 15Î { f(e^^)} |

für 0 ^ 6 ^ 27T summierbar. Jetzt folgt aber Satz 5 aus Satz 2.

Satz 6. Es sei /(z) für \z\<^\ regulär und von der Klasse H^. Dann gilt (24) für 0</?<L

Der Satz 6 folgt unmittelbar aus Satz 3.