Аддитивные функции множества

347

1 . Для того, чтобы последовательность неотрицательных зарядов jüLj {£"), /ig (^> • • • слабо сходилась к заряду |х(£), необходимо и достаточно, чтобы

1 ) lim )1^(/?) = д(/?), где/? — все пространство, в котором заданы заряды, и

2 ) для всякого замкнутого множества F, ]i(F)^ lim д (F),

2 . Для того, чтобы последовательность зарядов в совершенно нормальном пространстве слабо сходилась к заряду ;х(£), необходимо и достаточно, чтобы для всякого замкнутого множества F и содержащего его открытого множества G существовала последовательность замкнутых множеств F^,F^,,,, такая, что

1 ) при всяком /г, F с: Fj^cz G,

2 ) при всяком п было бы такое т^ что при k^niy F^ Z) F^^^,

3 ) TlF„ = F,

4 ) lim iiJF„)=^ii(F).

Наглядный смысл этой теоремы состоит в том, что заряды как бы „плавают* в пространстве, стремясь к предельному распределению, причем множества F^ как бы „загоняют" в множество F тот заряд, который в нем в пределе зывается. Эта наглядная картина по существу объясняет природу почти всех теорем о слабой сходимости, полученных нами. Например, первую из денных теорем можно интерпретировать следующим образом. Заряды, двигаясь в пространстве, могут в пределе войти в замкнутое множество F, попав на его границу, но выйти из него они не могут только в пределе, потому что для этого им нужно отойти от замкнутого множества, что не может изойти в пределе, а всегда лишь на некотором этапе их движения и тем самым до перехода к пределу. Если вообразить единственный точечный заряд рывно перемещающимся в пространстве, то это становится уже совершенно очевидным.

Глава V

Некоторые теоремы о слабой сходимости зарядов

В этой главе мы прежде всего вводим важное понятие ускользаюп^ей нагрузки. Определение его следующее. Назовем последовательность тых множеств Fj^ расходящейся, если все эти множества не имеют попарно общих точек и сумма любого числа из них есть замкнутое множество. Мы рим, что в данной совокупности зарядов есть ускользающая нагрузка, если из этой совокупности можно выделить последовательность зарядов ii^ (Е) так, что найдется число а=^0 и расходящаяся последовательность замкнутых множеств F^ такие, что при всяком п

а '^

Например , вообразим последовательность единичных точечных зарядов, полагающихся на прямой последовательно в целых точках и тем самым как бы уходящих в бесконечность; это и будет ускользающая нагрузка.

Мы доказываем важную для дальнейшего теорему: в слабо сходящейся последовательности зарядов не бывает ускользающей нагрузки.