522

H . Я. Виленкин

§ 6. Прямые разложения, порождаемые допустимыми элементами

6 . 1 • Лемма 8. Пусть группа G, ее подгруппы H и Lq, а также цепочка подгрупп б^о ^ ^i ^ • • • ^ ^« ^ • • • удовлетворяют обычным условиям, причем Lq — построенная выше подгруппа. Пусть, далее, ^1, ^2 » • • • » -^л » • • • — пгакая последовательность элементов группы G, что Xk = Р^^У^у где у^ б G^^ и Xk — допустимый относительно групп H и Lq и цепочки UqZD U^z:) .,,zd UnZD.,, элемент типа ^k-= wYä + dk, причем подгруппы Lu определяются индуктивно-. Lk== {Lk-\\ Ук]^ Пусть, далее,

G - { Z : o ; j ; i , . . . , j / ^ , . . . } . (98)

Тогда

G , : Hy=^ (9^ (у,)} : {ф, ipxj] + 9, {Ц П О,), (99)

k

где сумма распространена на такие j;^, что т^ = Y (относительно обозначений см. п. 4.2.1).

Последовательность х^, Xg, • • •, -^«^ • • • с описанными выше свойствами мы будем называть допустимой, а последовательность Xi, х^,.• »,Хп— конечнойдопустимой.

Доказательство . Выше было доказано, что введенные в делении 5 цепочки М^^ 3 М^^ 3 ... 3 В^п^ з ... и (/о^^ з Ùi^ з .. - ...z^Un 3... удовлетворяют требованиям пункта 3.1.

Покажем , что цепочка Cq^ с С!"^^ с ... с Сп^ с.., где

С^п^ = А [9,{puП G,) ПЯ,], (100)

удовлетворяет условиям п. 3.1.1, причем С^^^хфО^^ лишь если y^^+i == Y В самом деле, если у^^1<Съ то, в силу допустимости та Xn+h имеем:

р ( Л + 1 + МП0,=Л, (101)

откуда следует, что

pLn + i [ ] G^=p { y^^^ ; Ln}(}G^=pLn(]G^, (102)

Если же Y„+i>Ъ то равенство С^п^ = C^-i следует из того, что 9уСУ„+1)=0. Таким же образом можно доказать, что если у^^^фу, то

9^ (Ln-^i П Оу) -- 9^ {Ln П G,,). (103)

В случае же y^^^i = Y имеем, очевидно:

Ф^ {pLn+i П Gy) П (Я + G,+i) = (9^ ipxn+i); 9, [(Я + 0,-м) П (pZ^. П О,)]},

( 104 ) причем

9^ (px,+i) б 9^ [(Р^-« П Gv) П (Я+ 0,+i)] +рЯг (105)