568

A . И. Мальцев

мутант которой равен 1*. Первый коммутант этой группы состоит из треугольных матриц специального вида — с единицами по главной диагонали. Если составить нижний центральный ряд для коммутанта, то его П'й член окажется равным 1, так что всякая группа ных треугольных матриц является нильпотентной. Следующее ложение показывает, что треугольная форма является в некотором смысле нормальной формой для разрешимых матричных групп.

Теорема . 1. Каждая разрешимая группа матриц с элементами из алгебраически замкнутого поля содержит подгруппу конечного индек- са, матрицы которой приводимы к совместному ^треугольному виду,

Доказательству этой теоремы мы предпошлем лемму:

Лемма 1. Пусть О — периодическая группа матриц степени п, порядки элементов которой являются делителями заданного числа N, взаимно простого с характеристикой основного поля, если эта характеристика положительна. Тогда группа G конечна и ее порядок не превосходит некоторой границы, зависящей лишь от п и N и не зависящей от характеристики поля.

Рассмотрим произвольную подгруппу H группы G, порожденную конечным числом элементов. Порядок H конечен (см. [17], а также [6]) и взаимно прост с характеристикой поля. Поэтому всякое мое представление H в заданном поле получается редуцированием некоторого неприводимого немодулярного представления H (ср. [2], стр. 74). Отсюда видно, что группа H допускает изоморфное лярное представление степени п. Согласно теореме Жордана, H жит абелев нормальный делитель Д индекс которого не превосходит числа kn, зависящего лишь от п. Элементы А удовлетворяют шению х^ = 1, и, значит, число их не превосходит М"'. Таким образом, порядок любой конечной подгруппы группы G не больше knN^y а довательно, и общее число элементов G также не больше knl^^-

Доказательство теоремы 1. Эта теорема, очевидно, средственно вытекает из следующего утверждения: всякая абсолютно неприводимая разрешимая группа матриц содержит приводимую группу конечного индекса. Последнее мы и будем доказывать. В зательстве нам придется опираться на теорему Клиффорда, согласно которой, если группа матриц вполне приводима, то вполне мым будет и всякий ее нормальный делитель.

Итак , пусть G—неприводимая разрешимая группа матриц над алгебраически замкнутым полем. Предположим сначала, что G жит не лежащий в центре абелев нормальный делитель Л. Согласно теореме Клиффорда, матрицы группы А можно считать приведенными к диагональному виду. Пусть а = а^вц + • •. + о^п^пп — элемент из Д не лежащий в центре G {cij — матричные единицы), так что при торых i, J будет oLi Ф а;. Поскольку А — нормальный делитель в G, то для g-6 G имеем: g'''^ag = а/^ ^^^ + . • • + а^^ Спп- Отображение

* Для определенности под треугольными матрицами будут пониматься матрицы, у которых все элементы, стоящие под главной диагональю, — нули.