56

С . Д. Эйдельман

3 . Для исследования свойств решений параболических систем весьма существенно, как это было показано в [8], [9], [10], получить оценки матрицы Грина вида (1.18) с постоянными, не зависящими от Т. приведенная методика позволяет это весьма просто сделать для двух важных классов параболических систем (1.1), содержащих только группу старших по порядку дифференцирования в параболическом смысле членов (т. е. тех, для которых ко2Ь+ Lks = П]2Ь).

I . Системы с постоянными коэффициентами. Система (1.2) в этом случае имеет вид

^^ = B,{s)V. (1.19)

Пусть 8фО, тогда,используя преобразование И. Г. Петровского и замечая, что в этом случае постоянная F в (1.9) и преобразование R из (1.11) не зависят от Г, а в (1.12) отсутствует член THj ( | s |^*^^ + l)L{t), получим:

\v\ ! ^ ( t , to , s ) \■^Ms\s ( ^^^e (1.20)

или

v\ ! Ht , to ,

it - uf

^M^J^y^''''^^' - '^ . (1-20')

Пусть t — ^0^1» тогда, замечая, что

max nj —1

• MHtto,0)\KM,{t-~Q ^ , (1.20")

используя теорему о двойственности пространств Zfb я Zq и то, что

Г / г / > - - Ж + 2&, 2fe(max П}—1) = М — 2Ьу получим: /

1

- ^т Е \Xs-Ks\4f-t.) ^*-*

ID'^Gitto . x - DlK - - - - - - - - ^^М^е '^' , (1.21)

где Сщ и Cm не зависят от t, to^ x,iy t — tQ^l.

П . Сильно параболические системы. Рассмотрим систему(1.1) в случае М= 2Ь с группой старших по порядку дифференцирования членов; тогда соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений будет иметь вид:

f = ßo(^,5)V/. (1.22)

Систему (1.1) назовем сильно параболической (| 13]),если для любого а, любых вещественных о^ и любого t € [О, Т] справедливо равенство

J^iBoit , a)ä,ä)<-8l|of*iä|^ (1.23)

где 8i>0.