24

С . Я. Хавиясон

В самом деле^ если Ç | w„(t) |^ds > е, то С | и„(С) fds< 1 — е (Г« = Гд\Гя), И МЫ будем иметь:

J^^UniQvniQds^qn^ к 1г^.(^)Г^5Г-к \Vn{l)\'ds

< :

а это противоречит равенству (3.2). гичным образом убеждаемся в сти второго из соотношений (3.9).

Из (3.9) находим, согласно неравенству Минковского;

$ \tlnil)-

I Vn (1)

Vn\\'~'Vn ( l )

ds - ^0 при n—>оо.

Рис . 2

t^niOVnQ

■>т

( 3 . 10 ) На множестве Г^ справедливо неравенство

Un (£) Уп (D ^11"« (Ç) 1" , 1 ! о« (Ç) I*

II «« II • II Vn II Р II «„ ЦР ? II v„ II«

е I «n(Qün(Q|

( 3 . 11 )

В дальнейшем считаем, для определенности, что рУ^2. Рассмотрим, как и при выводе неравенства Гельдера ([25], стр. И), кривую у = х^~'\ Пусть (см. рис. 2) сначала ß>'a^"\ Тогда

E ! + E ! _aß>l пл. ЛßCD--(ß —a^-')(ß^"'—а) = р q 2 2

( 3 . 12 )

Последнее неравенство имеет место в силу того, что при любых z w. t, z>^>0,

Рассмотрим случай, когда ß < а*""* (рис. 3). Тогда

- + ê! _ aß = пл. ABC > пл. АВ^С, ' (3.13)

р ч