Partitionen Liescher und algebraischer Gruppen

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Für den Rest des Abschnittes wenden wir uns damit den Partitionen von einfach zusammenhängenden auflösbaren Liegruppen zu. Wir geben ein fahren an, weiches für jede Gruppe zu einer Partition führt: Es sei G eine (topologische) Gruppe und S eine Menge von abgeschlossenen Untergruppen von G, welche G überdeckt. Auf (3 erklärt man eine Äquivalenzrelation dadurch, daß man A ^(^B setzt, wenn es Untergruppen Hq, H^, ...,H„eS gibt mit A = Hq, В = H„ und Hi-^n Hi Ф 1 für / = 1,..., «. Für eine Äquivalenzklasse Z g в/ ä @ setzt man {XyQ = gp([jX). Beginnend mit Sq = S setzt man diese Konstruktion mit transfiniter Induktion fort: Ist À eine Limeszahl, so sei dabei S;^ = [jfi<Ä^ßl ist ®^ bereits konstruiert, so sei 6^+1 = {{Xy^^JXe QJ^eJ- Die Konstruktion wird für hinreichend große Ordinalzahlen stationär und liefert eine FamiUe S^, die eine Partition von G bildet. Besteht Sq ^^^ Gruppen, die keine Partition gestatten und ist ^ irgendeine Partition von G, so gilt (Z^<Sß,d.h. zu jedem S e S^ gibt es P e *îp mit S^P.ln diesem Fall ist also S^ die feinste Partition von G. Um die feinste Partition von G zu erzeugen, genügt es natürlich, für So die Menge der monothetischen Untergruppen von G zu wählen. Der Nachteil der vorgestellten Konstruktion ist es, daß man nicht ohne weiteres sieht, welche Eigenschaften ®^ hat; für die meisten Gruppen ist ja ®oo == {G}- Es ist eine erfreuliche Überraschung, daß in hängenden Liegruppen ®^ stets aus zusammenhängenden Untergruppen besteht. Wir zeigen dies nun für den Fall einfach zusammenhängender auflösbarer pen.

2 . 4 Hilfssatz. Sei G eine zusammenhängende Liegruppe, welche einen einfach zusammenhängenden auflösbaren direkten Faktor К besitzt, der unpartierbar ist. Gilt dim^> l^dimG, so ist auch G unpartierbar.

Beweis . Sei G = Kx N. Für einen Homomoфhismus a von К nach N betrachten wir die „Diagonaluntergruppe" K^ = {(x,x'^)\x€K}, die ebenfalls unpartierbar ist. Aus Dimensionsgründen ist K^nK+i. Die Behauptung folgt nun aus G=:{KJ(xeHom{K,N)y. n

2 . 5 Hilfssatz. Sei G eine einfach zusammenhängende auflösbare Liegruppe, in der nicht jedes Element in einer zusammenhängenden Untergruppe Ф G liegt. Dann existiert ein Normalteiler N, für den G/N = Ë2 gilt, wobei È2 die einfach zusammenhängende Überlagerung der Gruppe der orientierungstreuen Bewegungen der euklidischen Ebene ist.

Beweis . Sei M ein zusammenhängender Normalteiler von G mit dim GjM = 1 und sei N ein maximaler unter den in M enthaltenen zusammenhängenden echten Normalteilern von G; ferner sei x ein Element, das in keiner echten genden Untergruppe von G liegt. Dann hegt auch <xiV> in keiner echten zusammenhängenden Untergruppe von GjN. Es ist 2 ^ éïm{GIN) < 3. Unter den auflösbaren einfach zusammenhängenden Liegruppen dieser Dimensionen besitzt aber nur Ë2 solche Elemente (vgl. [25], Théorème 3). a