Оценка Т , оптимальная в классе 'Л несмещенных оценок с конечной матрицей ковариаций (при данном упорядочении У и функции потерь w ) будет называться несмещенной оценкой меньшего риска (н.о.н.р.) в классе ji .

Основное внимание в работе уделяется взаимосвязи н.о.н.р, относительно различных функций потерь w и отношений порядка J в множестве Эг^ .В случае, когда параметрические функции, оценки и функции потерь принимают вещественные значения, гичные исследования проведены в работах [1,2] • Матричные ции потерь изучались в [з-5] . Здесь мы приведем результаты, обобщающие соответствующие теоремы из [5,6] .

§ 2. Оптимальные оценки с наименьшей дисперсией

Перейдем к рассмотрению скалярного случая, когда Y :©-^R, w : R —^ R\ y^ - обычное упорядочение поля вещественных сел, Н.о.н.р,, соответствующая функции потерь

будет называться несмещенной оценкой с наименьшей дисперсией (н.о.н.д.).

Пусть П{ - класс н.о. с конечной дисперсией для ческой функции у- , а U^ '^{/'(х) : Ед^ = О , Eq [-/.l " < оо

9 G © 1, 6 > О . Обозначим через M множество статистик | , удовлетворяющих следующему условию: если F (^ , 9) - функция пределения (ф.р.) стат1^стики I е JH , то полиномы от н ны в пространстве L^ (R , Р(н,9')У при всех 0 G © .

Теорема I, Пусть т ^ M ж е ctboüLq ==у^и.^плотнс

в метрике L^^( Pq) , в всех н.о.нуля (н.о.н.) с ной дисперсией. Тогда г -н.о.н. р. для любой функции потерь w Доказательство. Хорошо известно (см. [7] ), что Т - н.о.н.д. тогда и только тогда, когда

Ев ( |Я=о (3)

при всех 9^® и всех н.о.н. /-(х) с конечной дисперсией. В лу условий теоремы это эквивалентно тому, что

Ee ( f^ =0 при всех 9 G G и 9^ G U^. Однако, если ^L G К.^, ^то ^/. € XL^^ при е^<Е в силу условий Eg (^7^) = О , EqI^^T^I * < оо (по-' следнее легко получается с помощью неравенства Гельдера). Таким образом, T"jC eUo для всех ^ieV.^, а значит и ^ ]С € И^ при К = 1,2,... , т.е.

•

M н