Пусть уже построен гомоморфизм Ф^^, : Y^—^Х^ ( а ^ 0) , такой, что Ф^ ( Km. S^) С IW dt^; построщ гсмоморфизм Ф^.^ • физм Ф индуцирует гомоморфизм Ф^'.'Зто^—^ }\ , опре-

деленный формулой Ф^ ( S^ Y^) = d^ Ф^ ^^^Чп^ ^а) • У^^вие согласованности Ф„ и Ф^ , означает, что ограничение Ф^ , на J m 0^ равно Ф^ . Для доказательства возможности построения Ф^ ^ достаточно, поэтсмлу, доказать, что отображение

эпиморфно * Точная последовательность О—SnaS^Y^Tp'^^'^^aT^'^ Л -расщепляется, ибо "^т о^^^^ = Неао^-Л -проективный модуль, поэтому отображение

эпиморфно . Далее, Нснп^СЗт 8^,Х^.,) = Hom^i'ПтВ^,Л)®^Х^.1

слабо - ^ -проективный модуль, ибо Х^., - S -проективный модуль; поэтому

Hc>m^ ( : iaxS , , Xj= ( Homj : im8 , , Xjf = = JV Horn, CimS,, X J = ЛГ(т Ham^(Y,.., X,J) =

= Tj^Homj Y,.. , XJ = tJ^ Hcm,{ Y„.., X,..) с

^•^Hoin^ ( Y . . , , X , J ,

Что и надо было доказать. Итак, мозшо построить такой Ф^,, -. Ya--;--------- Х^, . что <P^J^ = d^<P^ . При этом

Пользуясь ацикличностью комплекса X и проективностью комплекса Y , строим, как в доказательстве предложения У«1#1, гомоморфизмы Ф^ для 1г > О . Доказательство предложения, а с ним и леммы 2, завершено. х:

2^Ф Предложение. 1^сть А, В - два Yls -модуля, а е А , Ь € ^^ . тогдд a0,&e(A®^Bf. Если же aejVA^be ß^^ или если а в А^, П/В , то а ®^6 € JV^(A®^ ß).

Доказательство . Цусть а € А^, 6 е ß^^ fe^ € ß^ Д € jlT. На основании лемвш § 10.3^ имеем: для любого l в I 1(а®дЬ)= 1а®^6 = О , т.е. a®^fe е ( А®д В)^ , и а® Д 6, =/,(a®J,Uir(A®^BV

3° . Обозначим через | сквозной гомоморс^м

А^о В^—А®,В—А®, В

Л . Лв л

1545 9

129