чно

лемме 3.1, утожив х и / на матрицы из ЕО,^ ( AtX]) и

кЛ ^.ifAlX 1) соответственно, можем считать, что х''еО,,(кГХ1к сМО,,ск) и ^^€0,,(к[П)сМО,,(к) . из того, что ' ^ " ^/4E0;^^(AlX;K*]i очеввдно, следует, что о1'.(р''У^Е0,лк[Х^Х'^]) и, следовательно. об^Ч/ГЧЕО.^Ск) (см.лемму 2.16). Согласно леше 5.1, существует -с,сМО;^^(А) такая, что j,]^jl^ , кроме того очеввдно, существует fe Е0,^(/\) , для которой V^jy^fr . Матрица U'^^JLyU^l^^pf.xlM^f^^fyjL, лежит в ЕО-^^(А[Х»)Г ]) в силу теоремы 2.12. Поскольку очевидно достато- но доказать, чтс^'/.^с 0,,(A);EO,,(AlXl) и 4т?^0,^^^ЩМ\ то заменив «^ на ^^-х и ^ на«г"\ jp.^ будем считать, что л^^ i

и js'^n^^ . В этом случае -cf 4EO,,(AlX)X"^J)nO^^(m[XîXl)=G, и, следовательно, л* j!>' можно записать в виде л^^л. , где

^t с Gi . Имеем: UjU.x^.^€0,,(A[Xl)nO;,^(A[X"^])/û,,(A) . чем доказательство и завершено.

ТЕОРЕМА 6.9. Пусть г>.5 . ^€ 0^jA[X]), j € А[Х] унитарный многочлен. Если d(.£E02,(A[XL), то с^€ EO.JAtXl) • ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть J = X4cC^-X^> . +с^р , положим "i^X

и ^И^а^У+...-ьарЛ'* . Тогда .1€Е0,,(А[Х]рсЕ0,,(А[ХД-^]р-.

= EOn(A[Y,Y"]û) = EOn(A[Y]y ). в силу леммы 4.10 существуют

^ , €ЕО , ^ ( А [ У ] у ) =ЕО , , ( А [ У , Л ) и /eEO,,(A[Y]g) такие,

что рС=«с^.^ . Матрица ^=оС;^*^ лежит в E0;^^(A[YL) П ^ЕО^,(А[У]у)сО^^(А[У]) . в силу теоремы 6.8 ^€(0^^(АуЕО^^(А[У])П

П EO;ii(A[Yîû) • Заметим теперь, что существует ретракция A[Y]û~^ А ( Y-^O ) и воспользуемся леммой 2.16, получим:

jôeEO^^^CAtY ] ) . Теперь oC=c^^»^€EO^x(AtX>X'^]) . В силу тео^е ремы 6.8 </.eO;j^(A)-E02i(A[X]) и, вновь воспользовавшись мой 2Д6, окончательно заключаем, что сз(.€Е0;^^(А[Х]) .

ТЕОРЕМА 6.II (теорема о монсморфной стабилизации). Если А- яетерово кольцо, ß=A[X4,-.,XJ и г:^ггиюс (5,cUniА"«-*) , то то каноническое отображение 0-^^(ß)/EOxx(B)"^'^iO(B) является мономорфизмом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Обозначим через S мультипликативную систему в кольце В , состоящую из многочленов, которые при всех но больших m, после замены переменных X^ = Y^ , f^^z^^z^^i >•••> X =Y +Y^""^ становятся унитарны по Y^ • тогда (см.[81 §6) (LlS-'ЬUdш^^ • Если •^еО,,(В)пЕО(В) , то, согласно ме Васерштейна (теорема 2.15) Л^С^хг^о В) . Следовательно,

241

16 443