ПРШЕР 7.

Пусть X = R - числовая црямая, ^ - битопологическая структура на X » определенная псевдобазисом замкнутых в(Х^Х^

^ ) множеств состоящим из всех подмножеств вертикальных и всех подмножеств горизонтальных множеств. Сходшуюсть, мая такой битопологической структурой, может быть описана следу- щим образом: ((Л'д,^д ) 1 Ае Л) —^ (Л^?'^),

тогда и только тогда, когда либо множества|о&||А^Д^| {^aIA^Ao} бесконечны для любого Ао€Л (такие системы будем называть свободными), либо Хд= х, Ч\= Ч f начиная с некоторого А^с А (такие системы будем называть стационарными).

Пусть ((Хд,'^д)(А€Л)-^(^.^^) И ({1^дДд)|А€Л)-^(^,7).

Если ( ( Хд , 1 * д ) | АеЛ) свободная система, то есть ^Хд|А>Ао}> {'U» |А^ Хо}" "" бесконечные множества для любого А^сД » то в силу сходимости((1^д,'2д)|А€Л)—^(уД) и множество/2д|А:^Хв} бесконечное »яножество. Таким образом системы((Хд,'и\)| ДеД) ^ ^*^^А'^аЯА^Л) ^^^ одновременно свободны, лиоо однощ)емен- но стационарны. В первом случае и система((Хд^^д)|АсЛ) оудет свободной и поэтому((0|^д,25д)( АсЛ)—^-(зс,15) » тзк как ная система сходится к лнх5ой точке из (Х^Х, В) • Во втором случае Хд=А, 2д= ? » начиная с некоторого Ао^А и по- тощ опять ((аСдД|)|Д€А) —>-• (ХЛ) • Тем самым доказано, что битопологическое пространство (Л,^) транзитивно.

II . Биметрическим пространством будем называть множество X рассматриваемое вдеоте с некоторой метрикой на множестве ХхХ , то есть пару (Х,4^) t где Ф - некоторая метрика на )( X X • ^ общем случае метрика (Ц никак не связана с жимостью множества, на котором она задана, в произведение Х^Х В частности сходимость на Х^ X и сходимости на вертикальных и на горизонтальных множествах могут быть слабо связаны друг с другом, как показывают следущие примеры:

пгалЕР 8.

Пусть X=[0,t], У={(0,0)}и((ОИ]иО,0)и{еЦ)|1^€

( 0 , 1 ] { и ( ( Х , - 1 ) |лб ( 0 , { 1 } , 1|/:ХхХ —^ У такое взаимно значное отображение, что

Ч' ( о , о ) = (0,0)

\|» ( » , 1^ ) = (а,'^), если ос^^О

43