того , (-иг^т^,л^о)9^^, т.е. ХоУПсУП^ также не квадрат в к* Поэтому hVf^Xo "® является квадратом в поле к(\/т^), а значит.

Аналогичные рассуждения доказывают теорему и в случае, да Ъn(J(^ - собственная подгруппа в <^, и;>.

Перейдем теперь к случаю нечетного р.

ТЕЮРЕМА 4, Пусть К/к - расширение локальных полей, р - нечетное. Если для задачи погружения (K/k,Gr,(f,B) выполнено ловие согласности, и (^ - сюрьективен или IjtlCf^C<'r, W>^ то задача разрешима.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Если Cj^^ сюръективно, то достаточно жить Х-УП^. Условие (I), очевидно, выполнено. Алгебра

Л<^®к ( Сиг^ ) распадается, а символ (Çm'^,x) над к(9ж^)

равеи , как известно, символу (N(^1^^), X) над к^ а норма

%^ш является р-той степенью в к* (см.выше). Поэтому вьшо- лнено и условие (2). Наконец, выполнено и (3), так как уу^^^ууС^

^ ( к * ) для любых ^ФО^ ^у а алгебры Л^^Л^ Wi^j^^] делены над к.

Если bit(f*c<ir, а;>, но I*n(f^ не содержится в <со>, условие (I) пропадает, а условие (2) выполняется при любом Х, поскольку алгебры Л<^ и [^'^н'^^^^х] определены над к^ ^^^

f^ { k * ) . Поэтому достаточно потребовать, чтобы х не выражался

в виде mj-'y''(j=0,...,p-'l; '^ек^).

Наконец , если Гиг =<б(?>, то х должен удовлетворять условиям Л^®[^Ж.'^,х]->(; (AJ®A^)^-^ (>^^0). вие согласности означает, что существует Х^ск^ для которого

K%®i%YrÇi^ , Xo'\^^ над к. Если Х^^Ск^)*^, то и

алгебры Л^®Л| распадаются над k('Ç^)- Если же Xo€(k*)f^, то A^'v^ и достаточно взять ХМ{к^)^ такой, что (ÇJn^,X4) = '(. Аналогично при Iwtcp ={4}. Теорема доказана.

В ситуациях, не удовлетворяющих условию теоремы 4, условие согласности не гарантирует погружаемость. Покажем это на примере. Пусть F*=<0 - циклическая группа порядка ^f^i и К «

»«к ( У5Г ) • расширение локального поля к с группой F^ где SI - простой элемент поля |(« Будем считать, что характеристика поля вычетов поля к отлична от р и yf^ ^ к. Рассмотрим задачу ( К/к^ G^ Y? В), ГД© Для прообраза ê' элемента 5'

56