МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

53

Итак , формулы теорем 3.2, 3.2' дают нам явные выражения бых целочисленных представлений Ä(Q,, п^с) чисел вида п^с/2 дратичными формами с матрицами Qi,... , Q/» системы (15) через представления R{QjjC) этими формами числа с/2 G N, не гося на квадраты простых делителей числа п, и через фы R{QiiP^Qj) системы квадратичных форм с матрицами (1.5) с множителями вида р^, где р пробегает простые делители числа п. Все элементы, входящие в разложение (1.7), определяются именно этими множествами. Заметим, что присутствие в разложении мента D вида (3.11) не существенно благодаря лемме 3.6, поэтому явного вычисления групп единиц Е{ матриц (1.5) не требуется.

§ 4. Мультипликативные разложения КОЛИЧЕСТВ представлений

В качестве приложений полученных в § 3 соотношений мы жем вывести из них аналогичные разложения для количеств лочисленных представлений чисел положительно определенными квадратичными формами от нечетного числа переменных. С этой целью определим С-линейные гомоморфизмы.

Определение 4.1. Введем отобраоесения

a : <JMU ( Z ) > - >C ; ß:<Z'^>-^C, полагая

a { T ) = J2f^ еС для Т = ^/у <М^ >G<MU(Z)>;

7 7

7 7

Продолжим их до отображений ä : Q —► Мл (С), ß \ Ф —* С'*, полагая

â ( u ) ) = {a(ujij)) € Мл (С) для и = (u;.j) G ß; / : \

^ ( V' ) =

ß { Фi )

G С'* для ф=\ фг G Ф.

Иными словами, отображение à (или ß) получается заменой в ждом элементе матрицы из П (или столбца из Ф) линейной нации формальных символов вида < АГ > на сумму комплексных коэффициентов этой линейной комбинации. Очевидно, что а и ä -