206

A . П. ОСКОЛКОВ

Из уравнения (114), оценивая интегралы в правой части с мощью неравенств Гельдера и Коши и используя оценку (85), мы получим при Vt G М"^ неравенство (ср. (88)):

I (ll«^llin +Jl|div«'lli.n + I|i^«1li,n) ^

2 (118)

а из этого неравенства, используя лемму Гронуолла [1, гл. У1], уже доказанную оценку (117), условие (66) и неравенство (74) для оператора U^ получим оценку (ср.(93)):

1Кх11с ( о , Т ; МП ) ) + ^llgraddivt;^||2,(o,r;L2(n)) ^ ^C4o(i/-\x~i,Q,||t;oßj|/ll2,g«„T), Ш<сх), (119)

причем С40 —► оо при Т —> со.

Из уравнения (115), оце1Швая интегралы в правой части с мощью неравенств Гельдера, Коши и Фридрихса, оценки (94) и оценки (117), получим при Vt G М^ неравенство (ср. (95)):

J^ (l|fnii.n + ^ll<tlli,n + f l|divt;nii.n) +И1<.111п <

^ С41(П,«.-»,Сз9)(||Л||1п + |Klli,n), (120)

а из этого уравнения, интегрируя по < от О до Vt G M"*", зуя оценку (100) и лемму Беллмана-Гронуолла (см. (75)-(76)), получим оценку (ср.(103)):

IKtllL ( i + ; L2 ( n ) ) + -||divi;f||i^(K+;Mn)) ^

^C^2 { v - \K - \\\v4^ } iA\i . Uh^^ (121)

Наконец , из уравнения (116), оценивая интегралы в правой сти с помощью неравенств Гельдера и Коши и используя уже казанные оценки (117), (119) и (121), благодаря которым ведлива оценка (ср. (104)):

| ( ( M^K ) ) , , LS ? ) 2 , n| < Й||Ь^«Л|2.П + С^42(Й~'.С39,С40,С42),

V * >0 V<€[0,r], VT<oo, (122)