Об одном обобщений понятий спектральной ме!ры

115

ром Х(А), AC(ß), необходимо и достаточно, чтобы этот оператор кал представление вида

т ] { Х ) ^а { Х ) 1 ( К ) , ЯеЛ, (5.3)

где IçLg и а (к) — линейный ограниченный оператор Н{Х)->Н{Х), летворяющий условию

vrai max || а (к) \\нщ<^оо; (5.4)

при этом

vrai max \\а (К) \\н а) - II (^ ||l,. (5.5)

яел

Рассмотрим теперь класс %{а) более общих операторных функций %—уа (К), где по-прежнему Cl{X) — линейный ограниченный оператор Я(Х)~> —>Я(А), однако условие (5.4) заменено условием

vrai max || а (К) ||я (Л) < оо, А Ç Д (5.4')

яел

где D — некоторый (зависящий от функции (^{-)) а-полный класс жеств. Каждой функции (1{')^%{о) поставим в соответствие оператор d, заданный соотношением (5.3) на многообразии ©(öl).

^ { a ) = {l:leL„ a{^)l{.)eL,b (5.6)

Такой оператор й будем называть оператором умножения на функцию С1{-),

Из результатов § 4 и лемм 24 и 25 получаем следующее предложение:

Лемма 26, Для того чтобы линейный замкнутый оператор d с областью определения Ь Щ, плотной в пространстве L^, был новочен с мерой X, т. е. для того чтобы С1^%^{Х), необходимо и точно, чтобы оператор CL был оператором умножения на некоторую функцию o:(-)ç3to(a).

Для доказательства достаточно заметить, что каждой функции öi(-)6 б91о(а) взаимно однозначно соответствует последовательность (о1д)део нейных ограниченных операторов ад:12->12» удовлетворяющих условию

Х ( А1 ) ^гд , = ад^, Aie Аз, A^A^eD (ср. соотношение (4.4')); а именно,

[ cl^l^ { Ц ^хЛХ)а{х)1{%\ leu AeD.

Лемма 27. Пусть в гильбертовых пространствах Si и Sji заданы обобщенные спектральные меры Р и Pi соответственно, имеющие своей областью определения один и тот же класс множеств D(P)=D{Pi)=D. Обозначим через h и ^i соответствующие пространства обобщенных элементов, через Р и Pi — соответствующие продолжения функций Р и Рх и предположим, что существует такое взаимно однозначное и Henpß-