о некоторых корректных задачах для гипоэллиптических уравнений 237

Мы будем считать, что г^1 для точек А, Тогда множество Е содержит все

точки , расстояние от которых до какого-нибудь из лучей Ф = Фх,, ф = %

3 д^^^и (х и) меньше —. Оценки для ---------L-l_^ будут получены отдельно для мно-

жеств Е я А\Е. При этом мы будем пользоваться формулой и{х,у) = = и{х, у)*1 (х, у), где I(х, у) — некоторая бесконечно дифференцируемая

финитная функция с носителем, заключенным в области х^ + у^<^ —. Эта

формула является простым следствием теоремы о среднем [3]. Из нее дует, что

a^ + ^w (л-, у) , . дР+% (л-, у) ,, ГПК ---------i-L£L. == а(^х, у)*-------^^ . (159)

дх^ду " ^ дх^ду''

Обозначим через Dv угол Фv<Ф<Фv^-l и через fv—область Dv П {Л\Е). Лемма 13. Если решение уравнения (158) принадлежит классу W, то в области Fy справедливы следующие оценки:

1 ) для тех v, для которых ^àn,v=0 или ^ ^n,v ^-tUv, функция

п п

d^'^^uix и\

- ' - оценивается сверху соответственно с помои^ью правых на-

дхРду " ^ стей неравенств (156), (157);

д^'^^и (х и)

2 ) для тех v, для которых 0<У, ôrt,v<mv, функция----------'-^^ пред-

п дхРду^

ставляется в виде суммы ^ ^п,Фп,1, где функции Un,l {х, у) имеют оценки

п

вида (154), (155).

Доказательство . Определим в области fv для тех v, для рых О < 2 ô/z.v < ^v, функции a^.v (а:, у) следующим образом: и^пЦ (х, у) =

п

' - =Unv {х, у) * ^^ "^^ ^^' ^^ . Так как носитель функции I (х, у) лежит в дх^ду^

1 1 области х^ + у^<С — , то чтобы определить Un.l {х, у) при Фv H------< Ф <

4 ^

< ф^и 1--------, надо знать функцию Un, v {Xj у) не более чем при

Фv<ф<Фv + l . Поэтому функции ï/«.v(a:, у) вполне определены. В силу шения (159), они дают нужное нам представление в области f^ Для доказательства пункта 2) леммы нужно только показать, что функции ^nXix, у) имеют оценки вида (154), (155). Совершенно аналогично мы лучаем, что в тех областях fv, где ^ôn.v^O или ^bn.v = т>^, функция

п п

—У^^^У^ есть результат свертки функции ------^^^^Jl с функцией, опре-

дхРду^ дх^ду^

деленной при Фг<Ф<Ф\ч-1 ^ имеющей там либо оценку (156), либо оценку (157).