480

В . Ф. Гапошкин

функции С модулем непрерывности (ö{f; о) = о По —] ряд Фурье по

Т - системе равномерно сходится, и поэтому в классе подобных функций принцип локализации тривиальным образом справедлив для всех Г-систем^ Задачу, аналогичную только что рассмотренной, можно ставить и для различных методов суммирования ß. Мы ограничимся здесь наиболее ребительными в теории тригонометрических рядов методами (С, а) (а > 0) и Л.

Теорема 6. Пусть Xo=f= —л и в точке Xq для Т-системы справед-

q лив принцип локализации в классе М' {— я, л) ограниченных функций для

метода А, Тогда ф (л:) = Ai sin х,

оо оо

Введем обозначение: 5г(/;д:) = 2 о,пГ^^{пх)\ Sr{f\ х)--=^ апГ^ sin пх,

/ г=1 п=\

Лемма 10. Пусть О < Xi <; л. Суш^ествует / (л:) Ç M ' (— я, я), такаяу что:

1 ) для некоторой последовательности rk, 0<!г^<^1, \imrk = 1.

^ - ♦00

lim S s if', Xi) = Cs (s= 1у2,.,.) {Cs =h Cs' при s=t=sy,

k - юо ^ k

2 ) |5Hf;x)l<D (0<r<l, л:е[-^я,я]);

3 ) существует limSr(f; x)y если хф±Х1 (mod2я).

Доказательство . Положим

r , = ^,{l-rk+i)={l-rkf (fe=l,2,...) (3.14>

4

о

Очевидно , что — < га; < r^+i < 1, lim г^^ = 1. Далее, 1 — rl-i-i<l + r^+i) X

4 /г-юо

Х ( 1 — rk^i) < 2 (1 — г;^)2 < 1 — Гк. Введем обозначение:

ai = (1 — ri, я), аз = (1 — Г2,1 — rll..., а^^ = (I — г^, 1 — ri).....

Положим при X g (О, я)

1 при x^ak {k = 1,2,,,,),

О при x^ak,

g { x ) =

1

— в концах интервалов a^.

( 3 . 15>

2 2

= S + s + s -h{r) + l2{r)+h{r). (3.16>

0 1-r^ l-'-^fe-l