532

И , В. Шрапш

нулевой точки в в пространство L . Если |1^л11_^->0 (п-»оо), то, в силу

M

п . 4°, § 1,последовательность {Un{x)} покоординатно сходится к нулю по мере. Тогда для любого [х ]> О, в силу асимптотической непрерывности ратора Немыцкого, последовательность {0[P']/iiWn(A:)j]} сходится к нулю по мере на каждом подмножестве (множества ß) конечной меры. Далее, из условия (А) и теоремы 2.2 вытекает, что при всех л; б ß

s

Ф [ [ х1Лха „ ( д : ) 1 ] <гЗЛ4 / [ Х / |а ; , / ( х ) | ] + /(д;), /==1

где f(;c)—-суммируемая на В функция и т>0. Кроме того (п. 4°, § 1), \\m\Mi{'kj\Uni{x)\\dx=^Qy / = 1, 2,..., s.

Л - HDO Q <

Отсюда с помощью известной теоремы из теории интеграла (см. мер, [8], § 26, теорема 3) следует, что

lim \<ЬЩк^п(х)\]ах = 0.

Это , согласно п. 4°, § 1, и означает, что Ц^х^пЦф-^О.

Необходимость . Пусть оператор hi непрерывен в нулевой точке. Для произвольного jx^O найдется такое г>0, что Ц/iiW ||ф ^ [i"^ при j|all->^r. Следовательно, оператор AiJдействует из шара Тг в класс L%

( п . 3°, § 1). Тогда, по теореме 2.3, hx действует из L-* в Ьф, где X =

предположим , что далее (до конца п. Г) huoÇ^L ,Tßß «о—фиксирован-

, —>■

г M

ная точка пространства L .

Из леммы 3.1 непосредственно следует

Теорема 3.1. Для .непрерывности оператора h в точке щ мо и достаточно, чтобы выполнялось условие

( Б ) для любого и-^О существует такой вектор Я, что оператор hi, hiv = Л (t/o + ü) •— At/o, действует из L-> в L%,

M

С помощью теоремы 2.2 условие (Б) можно выразить в виде неравей- ства, которому должна удовлетворять функция g (а, х) (см. теорему 4 из работы Uli).

Из условия (Б) непосредственно следует, что hi действует из lL в £(,.•

е другой стороны, если все d^^. = оо и fti действует из iL в L%, то, в