274

A . В. Чер«ав(ский

8 / 3 - гомеоморфизм h\W -> R"^, тождественный вне Og и на PU Р^ [J QZx jj qQl принимая Hq Int Ri зг U я h^ Int R"^ за U^. Тогда hhqRl \J %^RZ содержит некоторую окрестность ß^~^ в R"^, значит, fÇ^hHqRl [j R'^ также содержит некоторую окрестность Л^""^ в R"^ и, значит, !г~^hhqRl содержит некоторую окрестность В^~^ в Ri. Так как гомеоморфизм ЬГ^ЬЛ, кроме того, есть 8-гомеоморфизм и тождествен вне Og, мы можем принять его за требуемый /i, и лемма доказана.

1 . 4 . Доказательство теоремы. Нам дано вложение q:B^->R"' такое, что q \ k локально плоско. Согласно лемме О второй части ([2], стр. 581),

существует гомеоморфизм h^-.R"'-^R^ такой, что h^q тождественно на В\ Стандартным образом строится окрестность В^\В^~^ в R"', замыкание которой есть я-мерная клетка D, край которой локально плоско вложен в R^ и которая не пересекает hiqBl\B^~'^, причем вложение В^в D эквивалентно стандартному. Тогда легко построить гомеоморфизм компактифицированного R^^ h^: R"' [j ау-^ R^ [j со, который переводит край D в Rq я тождествен на В\ Заменяя вложение q на вложение h^h^q, мы видим, что достаточно смотреть случай, когда q тождественно на Bt и (7(ß^\i5^) лежит внутри i?!^. Согласно следствию предложения (С^) второй части, существует пространение q\ k до вложения В";, в Ri.

Мы будем доказывать сначала, что вложение q локально плоско в дой точке Intß^-^, например, в О. Поэтому можно заменить В^ меньшим концентрическим шаром, и, таким образом, мы можем считать, что вложение q I k распространимо на окрестность В^ в Ri. Теперь легко построить гомео-

морфное отображение Ri в эту окрестность, переводящее Т в себя, Rl\T в Rl\R'^~^ и тождественное на В^~^. Тогда композиция этого отображения и предыдущего распространения q даст новое распространение q уже до гомеоморфного отображения всего Ri в себя, причем такого, что Т переходит в себя, Rl\T в Int Ri и В^"^ остается неподвижным. Мы продолжаем значать это распространение q на Ri через q.

План дальнейшего доказательства теоремы следующий: вначале мы строим гомеоморфизм h:R"'-^ R^, тождественный на F_ и такой, что гомеоморфизм

л ,

hq обладает свойством, аналогичным свойству (*) первой части ([1], стр. 600): hqRt при t >0 касается Rt снизу, (*)

где Rt — рупор с коэффициентом t.

Затем мы строим гомеоморфизм g : Rl\B^'~^ -> Rl\B^, аналогичный гомеоморфизму g первой части ([1], стр. 587), и получаем вложение q =^ gqg~^, которое продолжается тождественно на ß+. При этом гомоморфизм qq'^'.qRl-^ -^ qRl может быть продолжен тождественно на R"^\qRl и совпадает с q на В^. Поскольку раньше мы заменили В^ меньшим концентрическим диском из этого рассуждения вытекает только, что данное в условии теоремы жение q локально плоско в точках Intß^~^.