Обобщенные производные и дифференцируемость почти всюду 333

Пусть ф — неотрицательная основная функция, носитель которой жится в и. Найдется Я^ > О такое, что при 0<^h ^Hq носитель ф CI t/л. Если 0<;/i^/Iq, то

Переходя к пределу при h—*-О, получим

Так как Ф(х)^О — произвольная основная функция, то необходимость условия теоремы доказана.

Докажем достаточность. Если обобщенная функция

неотрицательна , то неотрицательна также функция

i . î=l * /

( здесь Мя — оператор усреднения). Отсюда следует, что средняя функция Uh выпукла при всяком h. Переходя к пределу при /г->0, получим, что ция и выпукла. Теорема доказана.

Следствие . Если функция и{х) выпукла, то ее обобш^енные вторые производные суть вполне аддитивные функции множества на а-кольце левских множеств области U,

Доказательство . Для всякого вектора ^ обобщенная функция

неотрицательна и, следовательно, Q (|, I) есть мера на а-кольце борелевских множеств множества U. Отсюда вытекает, что для любых векторов ^ и т^

обобщенная функция Q (5, Л) = — IQ (ь + Л Д + Л) — Q (^ — ЛД — Л)] есть вполне аддитивная функция множества в U. Полагая

l = ei = {0, .,,, 1, ..., 0), ri^^;^(0, ..., 1, ..., 0), ï у

получим , что -----------== Q (в/. Ci) является вполне аддитивной функцией мно-

дх - дх .

жества в [/, что и требовалось доказать.

( Поступила в редакцию 16/VII1 1966 г.)