о равномерном приближении функций комплексного переменного 503

Граница С^состоит из конечного числа k гладких дуг О^^ (/ =1, 2, ..., fe) с непрерывной кривизной, которые образуют между собой в точках стыка Zj (внешние по отношению к множеству Щ) положительные углы ayjc, 0<^ ау ^2, и если множество Ш обладает тем свойством, что функцию z =W {хю)в ности каждой из точек г<у/ = ф {zj) можно представить в виде

'¥ { w ) =^W (wj) + I (w) {w — wjp (1.1)

или , что то же самое, функцию w ^Ф{г) в окрестности точки zj можно представить в виде

Ф ( г ) ^Ф ( гу ) + А,(г)(г-г,Г/, ХЛг) = {ЧФШ} "^ ^^^

где функция ?и(ш) непрерывна в окрестности точки Wj (вдоль Г) вместе со своими производными первого и второго порядков и X{Wj)=f=0.

Множества типа (А) с внешними углами, большими чем я, будем вать множествами типа (Л').

В частности, множествами тиаа (Л) и тита (Л*) могут быть область, дуга, а также комбинация дуг и областей.

В настоящ.ей работе * решена задача, дающ,ая ответ на волрос о том, каким необходимым и достаточным условиям должна на множестве Ж типа (Л) в случае s<^l и типа (Л*) в случае s>l удозтетзорягь ф/нщия /(г) для того, чтобы ее наилучшие равномерные приближения En (f) при помощи многочленов Pn{z) степени п удовлетворяли при всех п =:], 2, ... неравенствам

En if) = inf max 1 / (г) ~- P„ (г) |< -^ , (1.2)

где s — положительное число и Л — постоянная**, которая не зависит от д. Краткая история этой задачи такова. В 1962 г. В. К. Дзядык доказал,

что для функции <7 (^) = 11 (2 — Zj) "^", где zj — вершины некоторого много-

угольника Эг и а.-я — его внешние углы, En (о*; Щ <-----(см. [4], теорема 1.5),

п

и в связи с этим сформулировал и пргдтожил решаемую в этой работе задачу

своему аспиранту Ю. И. Волкову.

В 1963 году Ю. И. Волков ргшил ее в терушках локальных модулей

непрерывности для случая, когда, во-перзых, 0<^s<^l и, во-вторых, когда

внешние углы а/л: области удовлетворяют .условиям 1<^а/<;2 (см. [1]).

Вслед за тем он доказал также высказанную на семинаре В. К. Дзядыком

гипотезу о том, что неравенства (1.2) имеют место тогда и только тогда,

когда f[^{w)]^H^{0<^s<^l) при всех |оу|^1. Одновременно и независимо

* Сообщение о результатах этой работы было сделано В. К- Дзядыком в июне 1965 г. во Всесоюзной летней математической школе по конструктивной теории функций в г. Кацивели (см. [5], стр. 79—81).

* * Через Л и Л'мы будем обозначать положительные, вообще говоря, различные янные. Эти постоянные, как правило, не зависят от степени п многочлена Р^ (г) и от точки z^Wl.