506

Ю . И. Манин

вых многообразий X:Jx->Jy можно построить соответствие

/ ( А . ) = (ф^ХфуГ(АХ1(1уГ(еу),

удовлетворяющее условию (11). Следующий результат является ским:

Предложение . Отображение Х'^^-» Jxy ^ —->t{к) индуцирует эти- eaAenmnœmb подкатегории мотивов, объектами которой являются Х^ (а морфизмами — всевозможные морфизмы между ними), с категорией, тами которой являются якобиевы многообразия, а морфизмами — «А-лине- аризованные» морфизмы абелевых многообразий: Л (g) Нот (У^, J у) (А — извольная алгебра, основное кольцо для выбранной теории пересечений)

В частности, если Л=0, якобиевые многообразия рассматриваются «с точностью до изогении». Эта категория неабелева, но ее псевдоабе- лево пополнение, как известно, уже будет абелевым: действительно, оно эквивалентно категории всех абелевых многообразий «с точностью до изогении», которая полупроста. В следующем параграфе мы зуемся этим для того, чтобы канонически сопоставить с каждым мерным унирациональнЫхМ многообразием некоторое абелево разие, играющее роль «трехмерного якобиана» А. Вейля.

§ и. трехмерные унирациональные многообразия

Здесь С — теория Чжоу над Q.

Теорема . Пусть \Х — трехмерное унирациональное многообразие над полем k. Тогда над конечным расширением k его мотив имеет вид

X = 7®aL®U®L®aV®L\ (12)

где и — прямое слагаемое мотива вида ф FÎ, Yi — некоторые кривые.

Доказательство . Пусть ф:Р^—>Х — рациональное отображение нечной степени. По теореме о разрешении особенностей отображений (для конечной характеристики и размерности 3 соответствующий результат казан Абьянкаром) существует коммутативная диаграмма вида

X'

ф

где -ф — морфизм конечной степени, а X — бирациональный морфизм, гающийся в произведение моноидальных ^преобразований с неособыми метрически неприводимыми центрами над конечным расширением поля k. Эти центры могут быть либо нульмерны, и тогда к мотиву прежнего гообразия добавляется кратное мотива ЬфЬ^, либо одномерны — тогда бавляется мотив вида F (g) L = L ф F+ (g) L ф L^. Поэтому мотив X' имеет вид:

X' = ?ф aL ф (ф Г-) (X) L ф aL^ ф L^ (13)