представление аналитических функций рядами Дирихле 553

fk { z ) = 2 ^v(^)^'^' (^>1),

причем ряд сходится абсолютно и внутри D равномерно.

Доказано было, далее, что, какова бы ни была конечная открытая непустая выпуклая область D, имеется соответствующая этой области функция L (к) со свойствами 1) и 2), причем у этой функции все нули ^1, ^2» • • • — простые и в каждом кольце p^-i<l\'k\<^pk лежит только по одному нулю.

На основании всего этого любую функцию/(г), аналитическую в ной выпуклой области D и непрерывную в D, можно представить в D рядом Дирихле

V=l

В данной статье мы показываем, что любую функцию F{z), только лишь аналитическую в конечной открытой выпуклой области D, можно также представить в D рядом Дирихле. Доказательство основано на следующей теореме, которая имеет и самостоятельный интерес.

Теорема 1. Пусть D — конечная открытая выпуклая область и

1 С — ее граница. Проведем открытые круги радиуса — с центрами в ках границы С. Эти круги при п'^щ образуют кольцевую область, реннюю границу ее обозначим через С п. Пусть {Мп} — возрастающая довательность положительных чисел. Обозначим через А {Мп} класс ций F{z), аналитических в D, которые удовлетворяют условию

\F { z ) \<Mn , геСп,п->щ, (2)

Для класса А {Мп} можно сконструировать целую функцию M (к) =

оо

= : V Ckk^ С ростом не выше первого порядка минимального типа, обладаю-

щую свойством: для любой F{z)eA{Mn} найдется функция /(г), ческая в D и непрерывная в D, такая, что

оо

M (D) / = 2 с«/^"' (г) = -f (г), Z 6 D. (3)

На основании теоремы I, приняв во внимание указанный выше тат относительно ряда (1), получается

Теорема 2. Функция F (z) из класса А {Мп} представляется в сти D рядом

» M4^,V ^ço. (4)