группы Ли с коммутирующими параметрами

35

{ Хуь Xyj) = Xy.Xyj - XyjXyi ^ {XX - (- l)^^^)^^^) XX) y^yj ^ fX, X] ytyj.

'■ L Отметим, что g{[X, X]) ^ g{yiyj). Далее, {Ur-2, {Ur-u Ur)} есть линейная комбинация слагаемых вида

[ Ххи , [X, XJ yiyi) = Xxk [X, Х] yiyj — [X, X] г/,г// Xxk =

= (X [X, к\ - (_i)^<^)ä№ ^j» [X, к\ К) х,у,У1 = [Х, \к, к\\ хиут.

Заменяя с помощью (3.7) коммутаторы линейными комбинациями X, полу-

i

чаем нужное утверждение. Из сказанного следует, что ф(С, ß) —^^Ф^»

где ф/6 9t g) 9t. Далее, так же, как и в классическом случае, убеждаемся, что элементы ф/ удовлетворяют условиям теоремы 1 и, следовательно, определяют некоторую группу Ли G.

3 . 5 . Функторы @ hL. Как группы Ли в нашем смысле, так и гебры, очевидныхм образом являются категориями, морфизмами в рых служат гомоморфизмы.

Обозначим через G категорию групп Ли и через А категорию алгебр Ли. Через @ обозначим отображение G->>A, сопоставляющее каждой группе соответствующую ей алгебру Ли, и через L — отображение А->0, сопоставляющее каждой алгебре Ли соответствующую ей группу.

Теорема 4. Отображения @ и L являются ковариантными рами, причем ®L = I и L& = I.

Доказательство этой теоремы не отличается от доказательства логичной теоремы в обычном случае.

3 . 6 . Коммутативные группы и алгебры Ли. Установим два простых следствия взаимно однозначного соответствия групп и гебр Ли.

Суи^ествует только одна коммутативная р, q-мерная группа Ли. Эта группа описана в п. 2.2. Действительно, из определения коммутативной группы Ли, (3.9) и (3.10) следует, что структурные константы ствующей алгебры Ли равны нулю.

Суи^ествует только одна О, q-мерная группа Ли. Это — О, ^-мерная коммутативная группа. Действительно, если G — О, ^-мерна, то в соот-

i

ветствии с (3.2) все ее операторы Ли X нечетны. Но тогда все коммута-

i i

торы [X, X] четны и потому равны нулю.

§ 4. Представления групп Ли

4 . 1 . Матричные элементы. Пусть 9( — пространство группы Ли G, Ш — градуированное конечномерное пространство и Т: 9l->3l(2)2t — ставление группы G (определение 7). Выберем в 3Î однородный базис 1^, ..., Im-

3 Математический сборник, т. 82(124), № 3(7)