150

Л . К. Скорняков

Алгебра S называется антиидеальной, если в ней нет никаких, отличных от S, идеалов. Примерами антиидеальных алгебр служат пы, кольца, структуры. Если алгебра S содержит нуль О и в ней нет алов, отличных от О и S, то она называется 0-антиидеальной.

Предложение 1.3. Антиидеальная алгебра S, обладающая п-ар- ными операциями, где /г^2, а также 0-антиидеальная алгебра, не ющаяся почти нулевой, периодичны.

Доказательство . Пусть со — п-арная операция, где п^2, и ОфаВ8. Если S — антиидеальная, то положим b = a...a(ù, В противном случае найдем такие элементы do, du ..., dk^S, где /j^l, и операцию (o^6Q, что b = dodi...dk(ù^=^0. Ввиду 0-антиидеальности, для подходящих слова h{xQ,Xu..,,Xi) и элементов Si,..., siGS имеем do==h{a,Su,..,Si), В обоих случаях найдутся слово g(xo,Xu ..., л:р) и элементы Сь ..., Cp^S такие, что a = g{b, Cl,,.,, Ср). Остается положить

если S антиидеальна, и

f { Xo , Xiy . . . , Xk+î^p)=g{h(XQ, ATi, . . . , Xi)Xi+i . . . Xi^k(i^\Xi^k+U • • • I Xi^ki-p)*

если S 0-антиидеальна, и заметить, что периодом элемента а в первом случае служит

( / , а, . •., а, q, ..., Ср),

а во втором —

( / » %» • • • > 5/» dl, ..., dky Cl, ..., Ср), Предложение 1.4. Пусть ц>\8-^1 — ретракция и f{xo, Хи ..., А:т) — слово. Тогда

f { a , au ..., am)(p = f (аф, au ..., am)

для любых а, au ..., amGS.

Доказательство . Поскольку (аф)ф = аф и u=f{açç, ai, ...,ат)6Л

и = аф = /(аф,а1ф,..., атф)=/(а, ai..., от)ф.

Предложение 1.5. Если I — ретракт периодической алгебры S, то ретракция алгебры S на I определяется однозначно.

Доказательство . Пусть ф^ и ф''— ретракции 5 на /, а65 и (f, bu..., bm) — период элемента а. Если xBS, то для краткости положим хц)'=х' и X(ç''=x'\ Поскольку х\ x^'G/ и и = и' = и'' для всех а6/, то

а' = f{a\ ôi, ..., bm) = (f{a\ by, ..., Ь'т)У^!{а\ bi, ..., M = = (/(a', fei, ..., bm)ï ^f{a\ bu .... bm)^ (fia, bl, ..., bm))' = =^fia, bu ..., M = (/(a, bl, .. •, bm)y = f (a% oî, ..., M - a\

Предложение 1.6. Если ц>: S-^I — ретракция, в6в(5), aQb, а^/, Ä6/ и a = f{a, Си ..., Cm), где m^l, го абаф.