О . В. Мантуров

В силу леммы 3.2 отсюда следует, что коэффициент при У2д-и равный cis,q, 5 = 0, 1, ..., k—1, есть целое число. Поэтому сЫ^^у(Ms) = us,qX2q-u 5 = 0, 1, .., k—1,— целочисленный класс. Доказательство закончено.

Теорема 9.3 накладывает очень сильные арифметические ограничения на условие существования сечения в Vn,k-^Y, в частности, на условие распадения Vn,k в прямое произведение двух пространств. (Заметим, что теорема 9.3 имеет дело по существу с гомотопическим типом пространств Vn,kii Y.)

В частности, для существования сечения в Vn,k-^S^^-^ имеем условие: в разложении

'^ = l+b,t+ ... +h-/-'+ ...

коэффициенты bu ..., bk-i — целые. Для того чтобы Vn^u при данном k имело сечение в расслоении Ум,к-^3^^-\ необходимо, чтобы N было кратно числу Джеймса — Атья Ми (см. [3]).

Изложенные методы без особого труда переносятся на случай других однородных пространств, в частности, симметрических. В [14] приведена таблица», указывающая образующие в K*{G/H)(S)Q для всех ческих пространств с компактной группой движений. Вычисление этих образующих проведено методами настоящей работы. Круг вопросов, занных в § 1 и не затронутых в настоящем параграфе, посвященном ложениям, мы надеемся рассмотреть в следующих публикациях.

( Поступила в редакцию 14/11 1972 г.)

Литература

1 . Дж. Адаме, 0 несуществовании отображений S^^-^S^^ с инвариантом Хопфа, ным единице, Математика, 5: 4 (1971), 3—86.

2 . Дж. Адаме, Векторные поля на сферах, Математика, 7 :6 (1963), 49—79.

3 . Дж. Адаме, Г. Уолкер, О комплексных многообразиях Штифеля, Математика, 11: 4 (1967), 42—68.

4 . Дж. Адаме, О группах /(Z), Математика, 10:5 (1966), 70—84; 11:4 (1967), '3—41; 12:3 (1968), 3—36.

5 . М. Атья, Лекции по /С-теории, Москва, Мир, 1967.

6 . М. Атья, И. М. Зингер, Индекс эллиптических операторов на компактных гообразиях. Математика, 10 : 3 (1966), 29—38.

7 . М. Атья, Ф. Хирцебрух, Векторные пучки и однородные пространства. матика, 6:2 (1962), 3—39.

8 . А. Бор ель, О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств компактных групп Ли, сб. «Расслоенные пространства и их ния», М., ИЛ, 1958, 163—244.

9 . Доан Куинь, Полиномы Пуанкаре компактных однородных римановых странств с неприводимой стационарной группой. Труды семинара по вект. и тенз.

анализу , выл. XiV (1968), МГУ, 33—93. 10, Е. Б. Д ы н к и н. Топологические характеристики гомоморфизмов компактных групп Ли, Матем. сб. 35 (77) (1954), 129-173.

In (1 + О