Устойчивые оценки снизу для гладких отображений

445

Ä>0 существует такое число K=K(k), что если МСШ{к, 2), то не более чем К точками интервал (а, Ь) разбивается на подынтервалы, обладаю- WfUe следующим свойством: для каждого подынтервала разбиения, жем, для подынтервала {с, d), множество

def

N^c , d ) = N Ç\{{x,y)^W:x^{c,d)}

есть накрытие над {с, d) (см. 3.3.1).

Доказательство . Фиксируем значение к, и пусть N — вольное множество класса Ш{к, 2). Пусть S^, /==1,...,/?,— такой набор полиномов, задающих iV, что p^k и deg Si^k при всех 1=1,...,/?. дем предполагать, что vS^^t^O, г = 1,...,/7. Так как, по предположению, внутренность N пуста, то, очевидно,

NdU {(X, у) 6 R2 : St {х,у) = 0,х^ (а, Ь)}. (9)

1=1

Далее , ясно, что существуют неприводимые попарно нальные многочлены 5,-, i=l,..., m, m^l, имеющие ненулевую степень по у и такие, что

р

П S,{x,y) =

'm . "I

I [ ( Si { x . y ) f\

1=1 J

q { x ) , (Ю)

где все /г^1 (см. (6)). Применив лемму 3.3.4 и следствие 3.3.6 к мно-

р гочлену П Si у получаем, что интервал (а, Ь) разбивается не более чем

4=1

K { k ) точками (где константа К зависит от k, но не зависит от iV62R(Ä, 2) ) на подынтервалы, обладающие следующим свойством: для каждого подынтервала разбиения, скажем, для подынтервала {с, d), множества

{ ( ; c , y ) 6R2 : 5 ; ( x , у)==0, xe{c,d)}, t=l,...,m, (11)

суть попарно не пересекающиеся накрытия над (с, d), объединение рых совпадает с множеством

и {(^» у) б R' : Si (jc, г/) - О, X е (с, d)}. tr=i

Так как многочлены Si, i=l,...,/?, задают N, то из (10) и (9) получаем, что множество iV(c, d) есть объединение некоторого числа связ'ных нент множеств (11). Следовательно, N^c,d) есть закрытие над (с, d).

3 . 5 . Лемма. (Уточнение теоремы Зайденберга — Тарского.) Пусть R^ и R«-^^ — некоторые аффинные подпространства R^ (размерности этих пространств равны верхним индексам), прямая сумма которых со- впадает с R^. Тогда для любых целых k>0 и n'^m^l существует кое целое K=K{k, m, м), что если М^Ш{к, п), то pr(iV)63)î(/C, m), где pv{N) — проекция N на R^ (параллельно R"-^).

Доказательство легко следует из теоремы Зайденберга — Тарского [4].