390 С. В. Полин

2 ) для любого мономорфизма |х : G-^F категории 5(Ь, ®) существует такой морфизм 9 : F-^G, что |10= U;

3 ) G — инъективный объект категории §(Ь, @) ;

4 ) каждая диаграмма

G

где а — мономорфизм, а L — факторфунктор основного функтора, кается морфизмом ф : L-^G до коммутативной.

1 ) => - 2 ) . Пусть \x:G-^F — мономорфизм. По следствию 1.2 ствует такой морфизм 0 : F^^F\ что [хв — существенный мономорфизм. Так как G—экстремальный объект, то |li9—изоморфизм и M-Löd^Ö)"*] =1g.

2 ) =^3). Пусть X : [/->V— мономорфизм, а ф : U-^G — произвольный морфизм. Рассмотрим универсальный квадрат

G - ^W ,

|Ll

По лемме 2.1, |х является мономорфизмом. Из 2) следует, что 10=1^9 для некоторого морфизма 9 : W-^G. Тогда ф=фр19 = Ая|)9, т. е. G — ективный объект.

Импликация 3)=^4) вытекает из определений.

4 ) =Ф^ 1). Пусть |1 : G-^V — существенный мономорфизм. Рассмотрим произвольный морфизм у из основного функтора Hd в V. Для го эпиморфизма V и мономорфизма К : L-^V имеет место равенство: y=vK. Построим диаграмму (2.2), удовлетворяющую условиям леммы 2.6. По лемме 2.5, а является мономорфизмом. Согласно условию 4) ществует морфизм ф : L-^G, для которого р = аф. Построим ный квадрат

По лемме 2.1, g' является мономорфизмом. Далее, |х\|?= tgcrii) = Т2(ф® Ig)er' =■ а'.

Так как \л — существенный мономорфизм, то i|? является мом. Так как aг|? = фcт^ то ф является мономорфизмом. Однако Т2ф=1а> и, следовательно, ф и Тг являются изоморфизмами.

Из того, что Тг — изоморфизм, вытекает, что а является физмом (доказательство аналогично доказательству в лемме 3.5). Тогда ^=a"*ß|bi и Y=va"*ß|i, т. е. каждый морфизм из основного функтора н V проходит через \к. Из описания морфизмов из основных функторов следует, что все отображения \хв сюръективны, т. е. \х является эпимор-