Ступенчатые формации групп

637

Пусть G обладает А-композиционным рядом, который стабилен тельно В и на каждом р-факторе которого А действует 1'ТОждественно. Тогда А действует f-стабильно на 5.

Доказательство . Предположим, что теорема неверна и G — группа наименьшего порядка, для которой теорема не выполняется. Если р не делит порядок P{G), то jB=1 по лемме 2.5. Поэтому р делит |f(G)|, а значит, среди факторов Л-композиционного ряда группы G имеется по крайней мере один р-фактор (т. е. фактор, являющийся р- группой). Будем считать, что В — нормальная /?-подгруппа из А шего порядка такая, что В действует тождественно на всех факторах Л-композиционного ряда группы G, но Л не действует f-стабильно на В. Пусть Г=СХЛ — расширение группы G посредством Л, L — ная нормальная подгруппа из Г, содержащаяся в G. Очевидно, G ет такой нормальной подгруппой Я, что Р{Н)Ф\ и Gl H — главный фактор группы Г.

Так как для GjL теорема верна, то A/CA{G/L)/a значит, и Л ет /-стабильно на BCa{G/L)/Ca{GIL), Поэтому Л, ввиду операторного изоморфизма, действует f-стабильно на BIBÇ\Ca{GIL). Учитывая выбор В, заключаем отсюда, что

B^Ca { GIL ) . (I)

Докажем теперь единственность L. Пусть U — еще одна минимальная нормальная подгруппа из Г, причем U^G. Тогда B^Ca{G/U), Таким образом, если a6ß, то [л:, а] =x~^x''uUf]L=l для всех x^G. Это значит, что 5=1; получили противоречие. Таким образом, L — единственная в Г минимальная нормальная подгруппа, содержащаяся в G. Так как Р(Н)Ф1, то отсюда следует, что L^F{H),

Рассматривая А/Са{Н) как группу автоморфизмов для Я, легко метить, что А/Са{Н), ВСа{Н)/Са{Н) и я удовлетворяют условию мы. Поэтому, ввиду |Я|<|G|, группа А/Са{Н), а значит, и Л действует на ВСа(Н)/Са{Н) f-стабильно. Учитывая операторный изоморфизм, лучаем, что Л действует f-стабильно на В/ВГ\Са{Н). Отсюда, ввиду (1) и выбора В, получаем

B^Ca { H ) Ç ] Ca { GIH ) , (2)

Ввиду (2), можно применить лемму 2.1. Из этой леммы прежде всего следует, что 1{Н)Ф\, а значит, L содержится в 2(Я), Далее, ет мономорфизм В в прямое произведение нескольких экземпляров пы L, так что L и 5 оказываются элементарными абелевыми р-группами. Докажем справедливость следующего утверждения:

GIH не является р-группой. (3)

Предположим , рассуждая от противного, что GjH есть р-группа. Пусть L^TqZdT^z:) ... =эГп=1 есть Л-композиционный ряд для L, являющийся, конечно, отрезком Л-композиционного ряда группы G. Построим следую^