222

Г П Чекану

классом %1г всех полупростых алгебраических алгебр униформного декса два. Поэтому нам необходима некоторая информация о стых алгебраических алгебрах униформного индекса два.

Итак , всюду ниже поле Ф алгебраиадски замкнуто, а /? ванная полупростая (в смысле Джекобсюна) счетнопорожденная кально конечная алгебра многообразия Уаг(Ф2).

Выберем и зафиксируем некоторое порождающее множество Э(/?) = = {г,| t6N} алгебры R и построим цепочку конечномерных алгебр i?n = = <0| 1^/<^}. Тогда

Учитывая , что поле Ф алгебраически заМ(Кнуто, получаем, что гебра /?„, n6N, разлагается в полупрямую сумму радикала L^ и простой подалгебры Q«, т. е.

; ? „ = L.4-Qn. (6)

Не теряя общности (см., например, [7], (8]), полупростые подалгебры Qn выберем так, чтобы Q,n^Q,n^^\ для любого nÇN.

Лемма 5. Если Ь^^Ьт для некоторого mCN, m>k, то L^^L^ для всех i'^m

Доказательство . Лемму докажем методом от противного. Пусть существует такое натуральное число /о'>/^, что L^^L^^. Тогда, вая, что RmÇ]L,^Lm для всех f^m, получаем, в частности, что L^^^RmC] Ç]Lj^^Lm, так как L^^Rm {m>k). Но последнее включение чит условию леммы. Лемма доказана.

Лемма 6. Если ОФи^Ь^, то существует такое натуральное число m€N, m^k, что u^Lm и u^Lm+i.

Доказательство . Допустим, что это не так. Это означает, что^ для .всех i'^k элемент udL^.

Рассмотрены идеал {и), порожденный элементом и в алгебре R, и пусть а^ ^ ajVjUWj—произвольный элемент идеала (и). Пусть п —

/ такое натуральное число, что v^, w^dRn для всех / и n^k. Так как u^lL^

( по предположению) и Ь^—радикал алгебры Rn, го adL^. Более того, а^=0 для некоторого sdN. Следовательно, (а) — ненулевой ниль-идеал полупростой алгебры jR. Полученное противоречие и завершает тельство леммы.

Лемма 7. Для алгебры R возможны следующие случаи:

1 ) R — локально сепарабельная алгебра. Тогда сущеавуют такие натуральные число, /п„ iéN, что /? = U Qm .

2 ) R — не локально сепарабельная алгебра. Тогда существуют такие натуральные числа и, /6N, что /?== (J Ri^, причем Lt^Ç^Qtp It^^Lt^^^

для всех î, i 6 N.