к теории абелевых расширений локально компактных абелевых групп 623'

Нот ( С , /?)=0, так как R не содержит компактных подгрупп; Ext (С, R)=0, так как jR — инъективный объект в S (см. [10]). Из ности последовательности (14) имеем С*^Нот(С, R/Z)^Ext (С, Z). Следовательно, при любой группе С имеем Ext(C, 1)Ф0, По лемме 3.2 Ех1{С,А)фО.

Теорема 3.5. Пусть С — связная компактная группа, а Т — дическая дискретная. Тогда Ext (С, Г)=0 тогда и только тогда, когда р(С)Пя(Г)=0.

Доказательство . Пусть сначала Ext (С, Г)=0, но р6р(С)П \]п{Т), pÇ^P. Тогда Т содержит подгруппу Z{p) и С1р]Ф0. Вычислим Ехр {С[р], Z{p)). Используя свойство (Б) и свойства функтора Extz, имеем

Ext (С [р], Z {р)) ^ Ext (Z (р), (С [рЮ ^ Expz (Z (р), С/рС) ^ С/рС ф О,

так как С*/рС*^{С\[р])*ФО. Отправляясь теперь от правильной точной последовательности 0-^О[р]-^С-^С/С[р}-^0, по свойству (А) получаем точную последовательность

Ext (С, Z(p))-^Ext {C[pl Z(p))-0. (15)

Из точности (15) и нетривиальности Ext (С[р], Z{p)) получаем альность Ехр (С, Z{p)), а вместе с ней по лемме 3.2 и Ext (С, А)Ф^, Следовательно, р(С)Пя(Г)=0.

Теперь пусть р(С)Пя(Г)=0. Покажем, что Ext (С, Г)=0. Пусть Т^ ф Тр. Выберем для каждого р6л1 = я(Г) в группе Тр базисную

Р^П^Т )

оо

подгруппу ßp = ф ф Z(p^). Тогда для каждого p6jti имеем Тр/Вр^^

^ ф Z (р°°) для некоторых кардиналов Шр, о. Имеем точную последова-

тельность дискретных групп

0 - > ® Вр^ ф Тр-^ ®Тр/Вр-^0. (16)

pent pent pent

Покажем , что Ext (С, ф Лр) = О и Ext (С, ф Тр/Вр) = 0. По свойству (Б> pent ' pent

последовательно имеем

Ext (С, ф Вр) ^ Ext f С, ф ф ф Z (р^)] ^ Ext f П П Т1 ^ (/^')' ^*] • pent \ pentk^inxp^f, j \pentk^imj,k }

( 17 )

00

Если теперь группа А' = Ff II Т[ ^ (Р^) конечна, то по свойству (В) имеем,,

pent k^i nipf^

учитывая , что С* р-делима для рЫи и используя элементарные свой-

оо * оо

ства Ext (К, C')^l\Y\ П Ext (Z(pfe), П=0. Если/(= П ÏÏ П ^ (Р*> pent k=i tttp ft реп, ft=i nip ft