2 ) Поскольку ф(/2)з:<р(/^)з:Л', к диаграмме Д^ можно приклеить зеркальную копию А^ диаграммы Дг ((^*fpV)"^* — контур для Д^) и лучить поддиаграмму А' с контуром piip^)''^^^) iP^)''^P2Si (см. рис. 16). Докажем сейчас, что в А' участки Si и (s^)-* С-согласованы,. если выполнено одно из условий а), б) леммы 6.2. При этом можно считать, что Д^ — минимальная диаграмма ранга L

Ввиду того, что max(|pi(^')-*|, | (p')"%|)<(4+ô) |С|, ство (18) в случае а) (так как /О^з, к>^2) или неравенство (17) в случае б) (так как /Oßo^, /^>1 + 8о) позволяют применить к А' му 5.3, ибо

4 + о<^1[АД1~р-^^Г*)—р-Ч2ор-*ЛгЧ4 + о)],

4 + o<|jii{ip[l-(l + eo)-4(pßo^—2Ô)—4—Ô}.

Поэтому в соответствии с п. б) леммы 5.3 в А^ можно выделить аграмму А с контуром х^у^ХгУъ гдс max(|A:i|, |л:2|)<о1С|, ф(у1~*) и ф(У2) — С-периодические слова, причем

min ( |y , | , |i/2|)>min(|5,|, js^l)—20(4+0) |С|—10|С|.

Эта величина больше Äi|C|. (В случае а) нужно использовать (18) и неравенства K<h, k>k2y а в случае б) —неравенство (17) и венства /Oßon, ^>1 + 8о).

3 ) Теперь к диаграмме А можно применить лемму 6.1, так как |С| + |С|:^]С| + |Л|. Она позволяет найти разбиение пути s^ в ведение u^w^, где слово <p{w^p^Pi~^) равно в ранге i некоторой степени С^ слова С, а |ф(и^):^СС (так как s^ имеет вид СС). Ясно, что при этом Qz имеет вид UzQy где ф (9)10:С для некоторого целого /. Но в А нить начало и конец пути q-^ можно таким способом: Pitpr^w^'^. чит, ^{Pitpc^W2~^) =^ С-\ Отсюда

Л - : ф ( 0 = Ф(Р1ГС^'ф(г^2Р1) = ^ Ф (л)"' С^'ф (^2Pi) Ф (л') Ф iPi) — Ф (PiP С^^'ф {Pi\

что и требовалось доказать, ибо d—/=±1 по лемме 4.5.

Лемма 6.3. Пусть А — минимальная диаграмма ранга i с ром PiQip^cii, где ^{Qi) и ф(?2) — периодические слова с простым в ге i периодом Л, и max(|pi|, |р2|)<о|Л|. Тогда max(|^i|, 1^21)=^ <k,\A\,

Доказательство . Рассуждая методом от противного, можно считать, что \qi\^\q2\y |?1|>^зИ| и (благодаря лемме 4.2) |?2|> >p\qi\ — \pi\ — \p2\>(pk3—2ö)\A\>k2\A\, Следовательно, можно пользоваться леммой 6.2, и, если считать, что (f{qi)i2zAA^ и ф(92"*)=^ 12:^4^1^ где Л'—циклический сдвиг слова Л"*, то A^{Pi)~^{A')^ip{pi)^ /=±1. Тогда, представив путь qz'^ в виде q^'^^tj^ts, где |^|<|Л|, ф(^2)^Л-\ имеем Л= 2-*(Л-*)'2, где Z:ôzçf(tr'p')y т. е. \Z\< <(1+б)|Л|.

1 ) 1=1, Тогда Z^A^^A^Z^- для любых k. Выберем k достаточно большим и к минимальной в ранге i диаграмме этого равенства ним лемму 5.3, которая позволит выделить поддиаграмму Ai, воряющую условию леммы 6.1. Значит, можно сделать вывод, что г^Хл^ для некоторого целого d. Отсюда Z-'A'^Z^A^, а в то же время

2Ш