соответственно . Покажем, что функция f{x), определяемая равенством (4), будет выпукла в RI Для этого воспользуемся теоремой 3. Ясно, что множества А^ и Лз удовлетворяют условию А и что функция (fi, А^) пукла. Функция f2{x) выпукла на любом выпуклом подмножестве жества Лз, поскольку она является суперпозицией выпуклой щей при у'^1 функции у \пу и выпуклой функции y=Xi^ + X2^ (см. [1]). Нетрудно показать, что градиенты функций fi{x) и fz{x) в точках ства D совпадают, так что функция f{x) дифференцируема в точках x^D. В силу теоремы 3 функция f{x) выпукла на всей плоскости.

4 . Приведем пример, показывающий, что в общем случае условие (3) может выполняться в точке x6Z) по одному направлению, но не няться по другому направлению.

Пусть функция (fix), R^) будет определена следующим образом:

^1 , когда ^"2 > О и Xi + ^2 > О,

f ( x ) = — (^1 + 2-^2)» когда ^2 > О и a'i + Xg ^ О,

Xi + 2^2, когда ^2^0 и х^+х^'^Оу

— Xi, когда ^2 :^О и Xi + Xg ^ 0. Эта функция выпукла на множествах

Л , = {(Х1, Х2)|х2^0} и Л2={(Х1, Хз)! Х2<0},

поскольку выполнены все условия теоремы 2 с направлением у=(1, 0) (она даже положительно однородна). Рассмотрим условие (3) в точке Xi = X2 = 0. Это условие выполняется по направлению у= (О, 1), но не полняется по направлению у= (1, —1).

Доказательства

Во избежание повторений теоремы доказываются в обратном порядке.

Заметим , что выпуклость функции (f(x). Л) векторного аргумента xÇR"" эквивалентна выпуклости функции Ц){t)=f{x^ + t{x2—Xi)) ного аргумента iG[0, 1] при всех Xi, Х26Л. Критерием выпуклости ции скалярного аргумента является следующая лемма, обобщающая рему 3 работы [3].

Лемма . Если для некоторого числа 0<т<1 функция (p{t) выпукла на отрезках [О, т] и [т, 1], то эта функция будет выпуклой на отрезке [О, 1] тогда и только тогда, когда выполнено условие

ф / ( т ) ^Ф - ' ( т ) . (5)

До казате Л ьство. По теореме 24.1 монографии [1] условие (5) необходимо для выпуклости функции ф(^) на отрезке [О, 1]. Докажем его достаточность. Для этого покажем, что функция ф(0 выпукла в тервале (О, 1). Выпуклость функции на отрезке [О, 1] будет следовать тогда из полунепрерывности сверху этой функции в его граничных ках, поскольку по условию функция ф(/) выпукла на отрезках [О, т] и

[ т , 1].

в силу упомянутой теоремы и условия (5) производная ф+ЧО не вает в интервале (О, 1). Поэтому по теореме 24.2 из [1] функция ф(/) =

t = ф(т)+ Г ф+'(5)(is выпукла в интервале (О, 1).

283