1985

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК

127 ( 169 ) , № 1(5)

УДК 517.55

Интегральные представления дифференциальных

форм на многообразиях Коши — Римана

и теория С/?-функций. II

Айрапетян Р. А., Хенкин Г. М.

В настоящей работе даны полные доказательства сформулированных в [1], [2] критериев аналитического (или о-замкнутого) продолжения С/?-функций (или С/?-форм).

Пусть M — действительное гладкое С7?-многообразие коразмерности k в С"", точнее, М={гШ: Pi{z) =., , = ри{г) =^0}, где {pv} ные функции класса О в области ficzC"" со свойством: (?piA • • • A^9h¥=0 на M. Пусть Г/(Л1) обозначает комплексное касательное пространства к M в точке ndM. Для х--={х\ ..., x^)6R^ положим px = ^'Vi + -• • + ^W С7?-многообразие M называют (/-вогнутым, если для любого xdM и бого a:GR''\{0} квадратичная форма Леви

S —^ (т^) ^cc^ß> где Ç ^ (t„ ..., t.) е П (М),

имеет на Tr^'iM) по крайней мере q отрицательных собственных ний.

Обозначим через Cp^q (Q) пространство дифференциальных форм типа (р, q) с коэффициентами класса С^'^ в области Q. Через Log(M), O^q^n—fe, обозначим пространство форм f типа (О, q) с мыми коэффициентами на М. Форма / из Lo^q{M) называется CR-фор- мой, если дм!=0, т. е. если для любой финитной формы Ф 6 CL'fn^j^-^(^ )

С - - " - ^

имеем \ f /\д(() = О, где д = ^ dZj —3----оператор Коши — Римана.

J ,_^ dz,

В [14] (см. также [2]) получен следующий,результат: Если CR-многообразие M является q-вогнутым, а область Q — псев- довыпукла, то существует окрестность Ql^ciQ многообразия M такая, что для всех г: 0^r<^q или п—k—q<r^n—k и для любой CR-формы

f { iÖil { M ) y s^O, и любого s'<s, существует д-замкнутая форма F^Ctj^^'^Q') такая, что /^A^iA • • • ЛФ.бС^^'ЧЮ и F=f на М,

Если форма f имеет порядок r=q, то сформулированное ние, вообще говоря, не имеет места (см. [8], [2]). Однако, в этом чае имеются удобные критерии аналитического (соответственно, (9-замк- нутого) продолжения С/?-функций (соответственно, С/?-форм) в ность многообразия М.

Приведем формулировки двух наиболее выразительных критериев. Первый из этих критериев мы сформулируем (в виде теоремы ности для С/?-форм.

Теорема I (см. [1], [2]). Пусть N—q-вогнутое в окрестности ки t^N порождающее подмногообразие в М,

92