Ф1 . Тогда Хс^И,, Но \Q: Сс{Л)|^4, поэтому \[Q, Х]\^16, Пусть х — элемент порядка 3 из X, Тогда [Q, х] содерлшт <ао, &о>. Отсюда |[Ç', А']| = = 16 и Uc^Q.oQ,.

Лемма 1.8. Инволюция ä имеет тип Сг (см. [5]) и ä^ — множество {3, 5}-транспозиций в <2>.

Доказательство . Утверждение следует из леммы 1.7.

§ 2. Редукция группы <ХП^{А)} Пусть G — контрпример наименьшего порядка к теореме. Тогда G = =:F*{G)A. По лемме 2.5 [4] А не слабо замкнута в С (А), Лемма 2.1.ao6F(G).

Доказательство . Пусть ao€^*(G)- Тогда С(ао)=С(Л) и ввиду лемм 1.2, 1.3 \аоЬо\¥=4 для любой инволюции Oq^D. Если &о€Ср(ао), то ао&о6С«Л, By)(^F*{G), По лемме 1.1 ао, boeO,{C{aobo)). Отсюда D — класс нечетных транспозиций в P(G)<ao>. Если граф 2){D) не связен, то по [2] F(G)^L2(2"), 52(2^), [/з(2") и ao€P(G). Значит граф ^(D) связен и по леммам 3.3, 3.4 [2] {Св(с1о)} транзитивно действует на Св(ао) — {do}. Отсюда по [2] F*{G){ao}c-^ll5, 2б. Но тогда G не содержит требуемой подгруппы А.

Лемма 2.2. Пусть M — максимальная 2'локальная подгруппа из G и F*{M)=02{M). Тогда любая максимальная абелева нормальная группа из M не является И-подгруппой в G.

Доказательство . Пусть максимальная абелева нормальная группа £ из Л1 является Г/-подгруппой в G. По теореме 2 [И] либо Ec:±Z^y,Z^^ и P(G)r:^L3(4), либо Е — циклическая группа и Q^O^^M) — группа симплектического типа, либо Е — элементарная группа и jf] >2. В последнем случае либо Е слабо замкнута в Q, либо по [9], [7], /*(0)^1Л?), ЙпМ9), G,((7), Ф,(9), feU), 'E,{q), EM. Esiq). q-\E\. Если же E слабо замкнута в Q, то по [10], [12] либо F*{G)^Ln{2'^), 5z(2^), [/з(2"), Лб, А,, Лв, Лв, М,,, М.23, М24, либо Г (G) £-(/«(?); либо М- единственная максимальная 2-локальная подгруппа из G, содержащая Cq{E). в последнем случае по теореме 1.10 [8] P(G)~:Z-2(2''±1), L^iS), U{2^). Sz{2^), [/з(2"), £з(2'^), Sp,{2^), M,,, М^г или М^з- Из строения централизаторов инволютивных автоморфизмов группы F*(G) [5] дует, что G не содержит требуемой подгруппы Л.

Итак , Q — группа симплектического типа. Ввиду [4], Q — циальная группа (группа HiS не является группой типа ки 2). С помощью леммы 1.7 из [13] следует, что ширина Q не больше 4 и Ос^О^;^(2), Противоречие с выбором G.

Лемма 2.3. Пусть H — подгруппа из G с Е*(Н)=^Ог{Н). Если В, С62ПЯ, то \ЬоСо\ф4,

Доказательство . Допустим противное. Для подгруппы X из G положим А(Х) = {В€2П-^| |&оСо| =4 для некоторой подгруппы С из 2П Л-^}. Среди максимальных по включению подгрупп У из G с условием F*{Y)=02{Y) выберем подгруппу M с максимальным |А(Л1) |. Понятно, что либо M — максимальная 2-локальная подгруппа из G, либо M<cC(t) для некоторой инволюции f из G — F*{G).

Пусть E — максимальная абелева нормальная подгруппа из М, Мо=* =Mnf*(G) и £о = £ПМо. Если ß, С6А(Л1) и 4=|ЬоСо|, то по лемме 1.с В к С сопряжены в <jB, С>, следовательно, Bf]E=l и по лемме 1.2 [1Г 15, £] = 1. Отсюда Е централизует <Л(Л1)>.

7 Математический сборник, т. 127(169). № 2(6)

24