каждый максимальный тор которой является максимальным тором G. Группа Gl является гомоморфным образом (с конечным ядром) группы G^ = Sü{n^) X.. .х5(/(Па), nt, ..., Пл>1. По лемме 5 группа Gz ет свободной неабелевой подгруппой, каждый неединичный элемент торой порождает максимальный тор. Гомоморфный образ этой пы будет подгруппой с тем же свойством в G^, а значит, и в G. чим этот образ через F. Зафиксируем некоторый максимальный тор Т группы G. Пусть W=N{T)IT — группа Вейля G, Х{Т)—группа теров тора Т, Если Х(:Х{Т), odW, то полагаем K^t) ==Х{а-Ча) для го tdT и о^'Та. Пусть ^=Т7(^''—О (произведение по всем odW). ция К симметрична относительно группы Вейля W, т. е. V^^K для всех ötW. Тогда ([7, теорема 6.20]) существуют такие характеры мых представлений х» группы G, что ограничение функции 2^tXi = X (для некоторых s»6Z) на тор Т совпадает с \. Функция х определена нозначно; будем обозначать ее тем же символом £. (Аналогичная струкция в частном случае группы SU{n) использовалась на первом шаге доказательства леммы 4.) Элемент gdG тогда и только тогда рождает некоторый максимальный тор группы G, когда K{g)¥=0 для каждого KdXiT), Х¥=1. Действительно, если g — порождающий макс i- мального тора и x-^gx = t(iT для некоторого x6G, то t — порождающий тора Г. Поэтому Х{Е)ФО для любого ЯбХ(Г), кФ1, а значит, и Х{1)Ф0. Поскольку Я (g") = Я (О, то и i{g)фO. Аналогично проверяется и обратное. Ясно, кроме того, что К — аналитическая функция на G. Будем считать в дальнейшем тор Т таким, что ТПГФ1. Зафиксируем произвольный неединичный элемент t(LTf]F' Для каждого X(iX{T), w(iF^={x, у} определим функцию ф«.х на группе О по правилу ф«,д(а) =Я(ш(/, а)). Функция ф«.х аналитична на G для бых иУ€/^2, K(iX{T) и если wФl, ХФ1, то ф«,.^ не равна тождественно нулю на G. В самом деле, пусть a€F, аФ1, выбран так, что w{ty а) ^Ьф\, Если ф1о,л(о)=0, то Х(6)=0, а это противоречит тому, что bdF и все единичные элементы из F порождают максимальные торы в G.

Пусть L — объединение всех замкнутых связных подгрупп группы G,, содержащих тор Т и отличных от G. Поскольку число таких групп нечно, то L замкнуто в G и ЬФО. Пусть M — множество нулей всех функций ф«,,х, ш6^2, ХбА'(Г), 1юФ1, ХФ1, По лемме 1 М[]1фО. Пусть s6 6G\(iWU^). Группа H = {f, s) искомая. Действительно, так как s^M^ то (Сю,к{5)ФО при любых нетривиальных wdFz, K(iX{T). Поэтому между f, s нет нетривиальных соотношений и все неединичные элементы H рождают максимальные торы в G. Далее, поскольку замыкание Й но (Я — объединение максимальных торов) и Тай, то (если ЙфО) ЙаЬ. Последнее противоречит тому, что s^L. Следовательно, Й^О. Теорема доказана.

Доказательство следствия. Пусть G — полупростая свяi- ная линейная группа Ли. Для шб/^г рассмотрим функцию ф«,(а, 6) = = det (ш(а, ft) —1), а, ft6G. Если ф«, не является тождественным нулем на GxG для каждого wdF^, шФ\, то по лемме 1 GxGФ\J^^^'^{Q) (объединение по всем ^fFa, wФ\), Искомая подгруппа порождается элементами а, 6, где (а, ft)€U9w*"40)- Достаточно, таким образом, лазать, что ф«, не является тождественным нулем на GxG. Пусть, на-

277