1987

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК

134 ( 176 ) , № 1(9)

УДК 612.5

Об алгебраической структуре алгебры Ли векторных полей на прямой

Молев А. И.

Введение . Среди основных примеров бесконечномерных алгебр Ли находятся алгебры Ли векторных полей на многообразиях. Простейшая из них — алгебра Ли Vect R* всех гладких (класса С^) векторных полей на прямой. Сравнительно недавно было обнаружено, что в этой алгебре Ли выполняются нетривиальные тождества (см. [1] — [3]), начато следование конечно порожденных подалгебр, вычислен их показатель роста [4]—[8], исследуется конечная базируемость системы тождеств [3], [9].

В настоящей работе (§1) будет доказана гипотеза ( ная в [7]) о структуре пространства полилинейных элементов Рп(VectR*) алгебры Ли VectR* как представления симметрической группы Sn. Оказалось, что это пространство как Sn-модуль изоморфно пространству однородных гармонических многочленов степени п—1 от п переменных. В качестве следствия этого факта получены точные лы для размерностей однородных компонент алгебр Ли, порожденных конечным числом векторных полей общего положения. Это позволяет в явном виде найти асимптотику для роста этих алгебр Ли и асимптотику для роста многообразия алгебр Ли, порожденного Vect R*.

Доказательство теоремы основано на использовании свойств родных идеалов /^,^, в кольце многочленов от q переменных. Еще в те [4], в которой впервые появились эти идеалы, было высказано положение о том, что идеалы /g,^ являются радикальными, т. е. дают со своими радикалами Rqm- Однако, доказать полностью это ждение до сих пор не удалось. Для доказательства теоремы оказалось достаточно совпадения однородных компонент идеалов /^„г и R^^rn ная со степени 2т—4, что показано в настоящей работе.

В § 2 без доказательства приводится аналогичный результат об морфизме между Sn-модулями Pn(VectR\ ^(R*))—пространством лилинейных элементов пары (Vect R\ ^(R*)) (см. [10]) и ством гармонических многочленов степени не выше п—1 от п ных; ^(R*) обозначает ассоциативную алгебру дифференциальных раторов на прямой с гладкими коэффициентами.

Автор благодарит А. А. Кириллова за постоянное внимание к работе,, полезные замечания и советы.

§ 1. Пусть g — алгебра Ли над полем характеристики нуль, Ьт— свободная алгебра Ли с образующими yi, ..., Ут. Любой набор х-= = (xi, ..., Хт) элементов % порождат гомоморфизм {^^: Ьпс-Н^ щий образующую yi в элемент Xt, Ядро этого гомоморфизма 1^ является идеалом в Lm. Пересечение П4 по всем наборам х называется идеалом

X

тождеств от m переменных алгебры Ли g и обозначается /m(ö)- Положим Lm{%)—Lmllm{%)' Алгсбра Ли Lrn{%) называется относительно свободной

82