Очевидно , t(0)^0 и t{I)=l . Множество всех значений ции t-t(P) (P^PJ обозначим через Q • Различным рам Р' и Р'^из ?? отвечают различные числа t(P^) и t(P'^)\ более того, если Р'<Р\ то, в силу (2.7), t(P')<t(P").

Таким образом, соответствие, определяемое формулой (2.8), является взаимно однозначным и имеет смысл обратная функция Р= P(t) ( ttQ) , которая, очевидно, является строго стающей проектор-функцией, определенной на i?^ и множество значений которой совпадает с цепочкой ^ •

Докажем , что множество Q замкнуто. Пусть t - вольная предельная точка множества ^ • Очевидно, / ся пределом некоторой монотонной последовательности ItjiT 18 S . Монотонная последовательность проекторов ß^P(tj) (^ ^ J- и^у")^ силу замкнутости цепочки "^ имеет своим делом некоторый проектор Pq^^ . Стало быть, найдется точка tj^ ^ такая, что Pf^oj^Po.

Очевидно ,

\tj'lo\^ Z^2'''U\PjX„\hl\PoX^\\\. (2.9)

Отсюда вытекает, что to-i-ûmtj. Следовательно, Ь^Я. и

P ( t ) ^Pa .

Кроме замкнутости множества Qp показано также, что ектор-функция P-P(i) непрерывна на Q .

Отметим еще, что если (^^ß) - смежный интервал ства Q ,to(Pu,Pß)(P^'^Pi^), Pß = Р(р)) есть разрыв цепочки ^ и наоборот, каждому разрыву цепочки ^ соответствует некоторый смежный интервал множества Я ^. Цепочка ^ непрерывна тогда и только тогда, когда множество Si совпадает с отрезком С О, 13. Проектор-функцию P(i) на- зовеи^ параметризацией цепочки ^ •

^ Отсюда следует, что цепочка ограниченной векторной ва- рнацмн ^ может иметь не более чем счетное множество разрывов.

114